KMP算法

引入:如何设计一个算法,判断一个字符串中含有另一个字符串呢?比较容易想到的就是朴素模式匹配算法,时间复杂度是O(n*m),但是kmp算法可以让时间复杂度降低到O(n)。

这是如何做到的?

假设有两个字符串为
A=ababbababa
B=ababa
不妨令A为主串,B为模式串,可以发现,A[5]和B[5](不妨设下标从1开始)失配了,如果按照朴素模式匹配算法思想,那么下面该进行比较的字符是A[2]和B[1]。实际上,并不需要这样做,我们只需要将A[5]和B[3]相比较即可*,为什么?

当第n个字符匹配失败时,我们知道前n-1个字符一定是匹配成功的,也就意味着我们只需要研究模式串前n-1个字符就可以了,而指向主串第n个字符的指针不需要回溯来和模式串比较,因此我们可以让下一次比较是主串第n个字符和模式串前n-1中的一个字符来比较,那么让模式串中的哪个字符来比较呢?这就不得不提到(前n-1个字符的)最长公共前后缀next数组了。

上面我们提到了,让模式串中的哪个字符来比较,即是第 next[n] 个字符,那么next数组又怎么求呢?


求next数组公式

1.当j=1时,意味着模式串第一个字符与主串失配,next值为0,我们规定了下标从1开始,这并不表示模式串中第0个字符与主串中的失配字符相比较,而是表示模式串第一个字符与主串失配字符的下一字符再进行匹配。
2.当存在长度为k的公共前后缀,且 0 < k < j-1 时,next值为k+1。
3.当只存在长度为k的公共前后缀(此时k = j-1)时,next值为1,表示模式串第一个字符与主串失配字符相比较。

为什么?可在朴素模式匹配算法中观察规律得出

next数组的进一步优化,nextval

根据上面的公式,我们可以求出B的next数组为 0 1 1 2 3,这就是为什么 "只需将A[5]和B[3]相比较即可"。实际上可以进一步优化,因为我们发现B[5]和B[3]对应的字符都是a,再比较还是会失配,因此我们可以把next[5]的值改为next[3],而next[3] = 1,我们又发现B[1]还是a,还是会失配,因此我们可以把next[5]改为next[1],值为0,表示B[1]与A[6]相比较。同样的道理,用这种方法,我们遍历一遍next数组,让next数组优化一下。

代码

KMP

求next数组

上面求next方法为手算,代码求next方法参考视频https://www.bilibili.com/video/BV16X4y137qw/
根据前面的介绍容易知道,next[1] = 0, next[2] = 1,
此时若ch[1] == ch[2],根据next数组定义,next[3] = 2,若ch[2] == ch[3],则next[4] = 3 ·········直到
ch[n-1] !=ch[n],则可视为s1s2···sn-1 与s2s3···sn匹配失败,而s1s2···s[next[n-1]-1]与s[n-(next[n-1]-1)]····sn-1是相同的,此时再比较sn和s[next[n-1]],若相等,则next[n+1] = next[n-1]+1,否则,再按匹配失败走,若是最坏的情况一直失败,j会等于0,最后next[n+1] = 1。

代码求next

void GetNext(String T ,next[]){
 int i=1,j=0;
 next[1]=0;
 while(i<T.length){
   if(j==0||T.ch[i]==T.ch[j]){
     ++i;
     ++j;
     next[i]=j;
   }
   else
     j=next[j];
 }
}

求nextval数组

nextval
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