整除的定义

多项式的除法与数的除法相同，式子除以式子，所得商与余。在多项式中，商与余可以为式子，也可以为值。

定义5：如果有数域P上的多项式 $h(x)$ 使等式 $f(x)=g(x)h(x)$ 成立,用 $g(x)|f(x)$ 表示 $g(x)$ 整除 $f(x)$ , $g(x)$ 称为 $f(x)$ 的因式， $f(x)$ 称为 $g(x)$ 的倍式（ $g(x)$ 可以为零）

任一个多项式 $f(x)$ 都能整除零多项式0，因为 $0=0\cdot f(x)$ ;零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式，因为当 $a\neq 0$ 时， $f(x)=a(a^{-1}f(x))$

整除的性质

1、如果 $f(x)|g(x),g(x)|f(x)$ ,那么 $f(x)=cg(x)$ ,其中c为非零常数——易证

2、如果 $f(x)|g(x),g(x)|h(x)$ ,那么 $f(x)|h(x)$ ——整除的传递性

3、如果 $f(x)|x_{i}(x),i=1,2,...,r$ ,那么 $f(x)|(u_1(x)g_1(x)+u_2(x)g_2(x)+...+u_r(x)g_r(x))$ 其中 $u_i(x)$ 是数域P上任意的多项式——因为每一项都带有可被整除的 $g(x)$

两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变，因此，如果在 $P[x]$ 中 $g(x)$ 不能整除 $f(x)$ ,那么在 $\bar{P} [x]$ 中， $g(x)$ 也不能整除 $f(x)$