k近邻法（k-NN）是一种基本分类与回归方法，k近邻法的输入为实例的特征向量，对应于特征空间的点；输出为实例的类别，可以取多类。k近邻法假设给定一个训练数据集，其中的实例类别已定。分类时，对新的实例，根据其k个最近邻的训练实例的类别，通过多数表决等方式进行预测。因此，k近邻法不具有显式的学习过程。k近邻法实际上利用训练数据集对特征向量空间进行划分，并作为其分类的“模型”。k值的选择、距离度量及分类决策规则是k近邻的三个基本要素。
k近邻算法简单，直观：给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例，这k个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分为这个类。下面先叙述k近邻算法：
k近邻法使用的模型实际上对应于特征空间的划分，模型由三个基本要素：距离度量、k值的选择和分类决策规则决定。
模型
k近邻法中，当训练集、距离度量（如欧氏距离）、k值及分类决策规则（如多数表决）确定后，对于任何一个新的输入实例，它所属的类唯一地确定，这相当于根据上述要素将特征空间划分为一些子空间，确定子空间里的每个点所属的类，这一事实从最近邻算法中可以看得很清楚。
特征空间中，对每个训练实例点x，距离该点比其他点更近的所有点组成一个区域，叫作单元（cell）。每个训练实例点拥有一个单元，所有训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分。最近邻法将实例x的类y作为其单元中所有点的类标记。这样，每个单元的实例点的类别是确定的。下图是二维特征空间划分的一个例子。
距离度量
k值的选择
k值的选择会对k近邻法的结果产生重大影响。如果选择较小的k值，就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测，“学习”的近似误差会减小，只有与输入实例较近的（相似的）训练实例才会对预测结果起作用。但缺点是“学习”的估计误差会增大，预测结果会对近邻的实例点非常敏感。如果邻近的实例点恰巧是噪声，预测就会出错。换句话说，k值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合。
如果选择较大的k值，就相当于用较大邻域中的训练实例进行预测。其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时与输入实例较远的（不相似的）训练实例也会对预测起作用，是预测发生错误。k值的增大就意味着整体模型变得简单。
如果k=N，那么无论输入实例是什么，都将简单的预测它属于在训练实例中最多的类。这时，模型过于简单，万却忽略训练实例中的大量有用信息，是不可取的。
在应用中，k值一般取一个比较小的数值，通常采用交叉验证法来选取最优的k值。
分类决策规则
k近邻法的实现：kd树
实现k近邻法时，主要考虑的问题是如何对训练数据进行快速k近邻搜索。这点在特征空间的维数大及训练数据容量大时尤其必要。k近邻法最简单的实现方法是线性扫描，这时要计算输入实例与每一个训练实例的距离。当训练集很大时，计算非常耗时，这种方法是不可行的。为了提高k近邻搜索的效率，可以考虑使用特殊的结构存储训练数据，以减少计算距离的次数，下面介绍kd树方法。
构造kd树
kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构。kd数是二叉树，表示对k维空间的一个划分。构造kd数相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间划分，构成一系列的k维超矩形区域。kd树的每个结点对应于一个k维超矩形区域。
构造kd树的方法如下：构造根节点，使根节点对应于k维空间中包含所有实例点的超矩形区域；通过下面的递归方法，不断的对k维空间进行切分，生成子节点。在超矩形区域上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点，确定一个切分点，确定一个超平面，这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴，将当前超矩形区域切分为左、右两个子区域，这时实例被分到两个子区域。这个过程直到子区域内没有实例时终止（终止时的结点为叶结点）。在此过程中，将实例保存在相应的结点上。
通常，依次选择坐标轴对空间切分，选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数为切分点，这样得到的kd树是平衡的。注意，平衡的kd数搜索时的效率未必是最优的。
搜索kd树
给定一个目标点，搜索其最近邻。首先找到包含目标点的叶结点；然后从该叶结点出发，依次回退到父结点；不断查找与目标点最邻近的结点，当确定不可能存在更近的结点时终止。这样搜索就被限制在空间的局部区域上，效率大为提高。
包含目标点的叶结点对应包含目标点的最小超矩形区域。以此叶结点的实例点作为当前最近点，目标点的最近邻一定在以目标点为中心 并通过当前最近点的超球体的内部。然后返回当前结点的父结点，如果父结点的另一子结点的超矩形区域与超球体相交，那么在相交的区域内寻找与目标点更近的实例点。如果存在这样的点，将此点作为新的当前最近点。算法转到更上一级的父结点，继续上述过程，如果父结点的另一子结点的超矩形区域与超球体不想交，或不存在比当前最近点更近的点，则停止搜索。
