生存分析10- 单个时间点的生存率

      生存分析中我们用到的log-rank检验或者cox回归，针对的都是整个生存曲线或生存数据的对比。这里主要讨论针对某指定时间点或指定生存率进行统计推断所需要用到的分析方法。这些方法均基于K-M估计。针对的原假设为：
      $H_0: S(t^*)=p^*$
      $t^*$ 为特定的某个时间点， $p^*$ 为该时间点假定需要达到的生存率。

K-M法生存函数估计值：

在大样本的情况下，K-M估计量近似正态分布（asymptotically normal），均值为S(t)，方差可以通过不同的方法进行估计。

方差估计方法：

1. Greenwood's formula

这里的

S(t)

是K-M的估计值，带入不同时间点

n_j、d_j

可以计算出时刻t时生存率对应的的方差。
例子：
时刻 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
事件 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |

2. Peto's formula

首先，对不同的观测事件时间点进行排序：
*

t_{(1)}<t_{(2)}< ... < t_{(k)} < t_{(k+1)} < ....

t

为指定的任意时间点
e.g.

t_{(1)}=2，t_{(2)}=5

，需要计算计算

t=3

时的方差。
因为时刻t符合

t_{(1)}≤t<t_{(2)}

，则上述公式中的

k=1

，将当前时刻的K-M生存率估计值

S(t)

以及

n_k

代入公式，可以计算出Peto方差。
在

[t_{(k)},t_{(k+1)})

的时间段内，没有新事件发生，生存函数不变，因此此时方差的计算也保持不变。
文献中建议当生存率较高或较低时，可以使用这种方法进行计算。

3. Thomas and Grunkemeier

该方法可指定时刻 $t^*$ 时的生存率 $p^*$ ，并进一步构建置信区间进行统计推断。
首先通过公式（1）构建约束统计量（生存函数等于某一特定生存率），计算出给定 $t^*$ 和 $p^*$ 时的 $λ$ ，使得 $\tilde{S}(t^*;t^*,p^*)=p^*$

公式1

这里

0≤t≤t^*

。
类似于K-M生存率可以用于构建Greenwood方差，这里的

\tilde{S}(t;t^*,p^*)=p^*

也可以用于构建约束估计方差（constrained estimate of variance）。将

λ

带入公式（2）中，可以计算出

\tilde{S}(t^*;t^*,p^*)

的约束估计方差。

公式2

其中

\tilde{p_j}=(n_j+λ-d_j)/(n_j+λ), \tilde{q_j}=1-\tilde{p_j}

\hat{S}(t-)

和

\hat{S}(t-;t^*,p^*)

为时刻t前（不包括时刻t）累积的

\hat{S}(t)

和

\hat{S}(t;t^*,p^*)

该方差可以用于 Thomas and Grunkemeier 似然比检验（Thomas and Grunkemeier likelihood ratio test）。
用deepseek给出的一个计算例子：

4. Rothman

方差的构建依赖于S(t)的渐近正态性，对Greenwood方差进行了一定的调整，调整参数为 $p^*(1-p^*)$ (假设H0成立时) / $\tilde{S}(t^*)(1-\tilde{S}(t^*))$ (当前估计的方差)，当 $p^*=\tilde{S}(t^*)$ 时，Rothman方差=Greenwood方差。

检验方法：

1. 正态近似法（Z检验）

当n->∞时，基于K-M估计的统计量趋近于正态近似分布

其中的variance可以是前面提到的3种方差中的任意一种。
通过计算置信区间

S(t^*)

是否落在

{p^*±z_{α/2}\hat{σ}(t^*)}

来进行检验。

2. 基于正态近似法的转换

Rothman方差( $\hat{σ}_R^2(t^*,p^*)$ )和约束估计方差( $\hat{σ}_C^2(t^*,p^*)$ )的缺点是数据偏离正态近似时表现较差。
可以考虑对S(t)进行转换，使得转换后的变量更接近正态分布，从而提升检验的稳健性，可以用的转换包括logit、arscin、probit和log(-log)转换。

文章中推荐使用

log(-log)

转换，
转换后的方差为

\hat{σ}_G^2(t^*)/[\hat{S}(t^*)log{\hat{S}(t^*)}]^2

拒绝原假设时：

当

\hat{S}(t^*)=0或1

，log(-log)转换不适用。

3. Thomas and Grunkemeier’s likelihood ratio test (似然比检验)

通过前面提到的Thomas and Grunkemeier方差构建似然比检验。
当 $-2R>χ^2_{1,α}$ 时拒绝H0.

总结

当样本量很小时，基于正态近似Greenwood's test和Peto's test不适用。文献中推荐使用Thomas and Grunkemeier似然比检验，但当样本量小且删失数据多时不适用。
剩下的其他方法里，基于正态近似的约束估计方差（constrained variance）及Rothman方法较好。