声明：今年的题目解析有部分来自老师是讲解，有部分是本人做的补充，如有疑问请及时留言（第二题第3小题异常，无法求解）。
一、（共3分）用逻辑符号表达下列语句
1. 任意一个自然数，有且只有一个后继（论域为一切自然数）
解析：解法一：(仅供参考)P(x): x是自然数，Q(x,y):y是x的后继，R(x,y):x与y相等
解法二：P(x)：x是自然数， A(x,y)：x + 1=y （自然数：非负整数）
二、解答题
1．有以下前提 化简（ F ）用最简方式表达。
解析：假设三个前提为T
(德摩根律) 由前提
可得
可知
此时 （前提假设为F，则无论结论如何结果都为T）
则有 与前提假设相矛盾，题目可以化简成 F
2. 11 个人分四组，第一组四人，第二组三人，第三组不分人，第四组四人，共有( 11550 )分法。
解析：本题主要考组合。
第一组选四人, 第二组选三人
,由于第三组为空组，剩下的4个人就直接划分到第四组。因此总共分法为：
3., R的幂满足
,已知
,求
( )。
解析：（题目有问题）
4. 顶点𝒏 ≥ 𝟑的简单连通平面图，每个面的度数为 3，则边数为 （ 3n-6 ）。
解析：根据题干中的信息，可以用欧拉公式去解题： v-e+r =2, d/2 = e, 其中 d代表度，v是点数，
e是边数，r是面数。而此题v=n，d=3r，代入欧拉公式n-e+r = 2，且 3r/2 = e。r=2e/3 ，代入前式得
n-e+2e/3 = 2, 得e = 3n-6。
5. G=（V,E）有 10 个顶点，15 条边，需要用（ 4 ） 种颜色染它的边。
解析：该图为peterson图，其性质是点色数为3，边色数为4。
三、简单题
1.已知，
（1）求，
（2）求。
解析：
（1）
（公式1）
由牛顿二项式推广公式 由公式1可知n=2代入推广公式，在代入公式1中，得到
(公式2)
将公式2代入原等式，
求即求
的系数，
;
（2）可以考虑展开式和数学归纳法
因此当可以得到当 n <= 3 时 , 当n > 3时，
2. 已知𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}, 𝑩 = {𝟏, 𝟐}，A 的幂集 P(A)上的二元关系满足， 𝑺, 𝑻 ∈𝑷(𝑨), < 𝑺, 𝑻 >∈ 𝑹当且仅当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩。
（1）求 P(A)的基，画出 R 的关系图；
（2）判断 R 是否是 P(A)上的等价关系，如果是请说明，并计算 P(A)/R 的商集；如果不是，请说明理由。
解析：（1）可列集中，含有有限个元素的集合称为有限集，基数定义为其元素的个数；与自然数集对等的集合称为可列集，基数定义为 ℵ0 ；含有无限个元素且与自然数集不对等的集合称为不可数集；含有有限个元素的集合与可列集统称为至多可数集。
𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} 因此可得 则有
由条件𝑺, 𝑻 ∈𝑷(𝑨), < 𝑺, 𝑻 >∈ 𝑹当且仅当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 且 𝑩 = {𝟏, 𝟐}， 当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 = {1,2}时，此时 𝑺, 𝑻 ，即
，
如果当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 = {1,2,3}时，则有𝑺, 𝑻 ， 即
因此R的关系图有两个：
（2）判断R是否是等价关系，只需要正面R是否满足自反性，对称性和传递性；
因为< 𝑺, 𝑻 >∈ 𝑹当且仅当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 ，可得 𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑺 ∪ 𝑩 则< 𝑺, 𝑺 >∈ 𝑹，满足自反性；
< 𝑺, 𝑻 >∈ 𝑹当且仅当𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 ，𝑻 ∪ 𝑩 = 𝑺 ∪ 𝑩，则有< 𝑻，𝑺 >∈ 𝑹 ，满足对称性；
引入中间传递集w，设< 𝑺, w>∈ 𝑹 ，< w, 𝑻 >∈ 𝑹 可得 𝑺 ∪ 𝑩 = w ∪ 𝑩 和 w ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 结合可得𝑺 ∪ 𝑩 = 𝑻 ∪ 𝑩 进而得到了< 𝑺, 𝑻 >∈ 𝑹 ，满足传递性。
基于以上三点，可知R是等价关系。
商集计算：
3. 五位老师审阅 5 本书，一本书至少需要审阅两次，而且第二次审阅的老师不能与第一次审阅的相同，请问审阅两次需要多少种不同排法？
解析： 第一轮有5!排法，而第二轮则要求与第一次不同老师，则就是完全错排问题（参考2020年第四题）
因此总数为
四、证明题
1、下列等值式是否正确。如正确，请证明；如错误，请举出反例。
解析：（解法一）
(解法二 )
2、证明：和
证明：这种证明的简单方法就是用恰当的例子来理解。
第一个等式
一个框种n个不同序号的球中挑选r个球的方法有C(n,r)，此时剩下的球数为n-r，剩下的球选法与挑选方法是一致的，因此得到
第二个等式
假设一个框中n个不同编号的红球和n个不同编号的蓝球，从这个框中挑出的n个球的方法有 种，
该方法可以分解成，挑选0个红球，n个篮球
挑选1个红球，n-1个篮球,
挑选2个红球，n-2个篮球
以此类推，挑选n个红球，0个篮球
这样累加起来可得
最后得证。
