Python学习-卡尔曼滤波

依旧是Python课程 _(:з」∠)_ 期末需要完成小组作业，选题内容主要是用卡尔曼滤波来实现交通参数的预测。已有数据包括：历时7天的上下匝道线圈数据，匝道口上下游的数据。数据采集点及数据结构如下图所示。

数据结构

数据采集点

预想通过上游NX39、匝道入口ZP=NI=01/02的历史和当前数据，以及NX40的历史时间序列数据，来预测下一时刻NX40处的交通参数：流量、密度、占有率。

卡尔曼滤波器算法（The Kalman Filter Algorithm）

卡尔曼滤波的原版论文：《A New Approach to Linear Filtering andPrediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf

X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)

X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。W(k)表示过程的噪声，假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，covariance 是Q（这里我们假设不随系统状态变化而变化）。

Z(k)=H X(k)+V(k)

Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。V(k)表示测量的噪声，被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，covariance是R（这里我们假设不随系统状态变化而变化）。

因此，对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。

（1）X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k)

X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

（2）P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q

P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。

上述两个公式是对系统的预测。

（3）Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R)

Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)

（4）X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1))

结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)。

更新k状态下X(k|k)的covariance：

（5）P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1)

其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。

根据项目背景，研究范围是上下匝道口之间的路段，我们知道交通流参数满足一定的函数关系：例速度和流量满足二次曲线关系。因此这个路段的V、S、O的当前值跟前一时刻的V、S、O不同，所以要设置系统参数A。这里的系统参数由回归模型的系数决定。

KFT 代码：https://github.com/xUhEngwAng/trafficPredict/tree/trafficPredict