重修班b刘辰冲

问题探讨

问题背景：已知均匀带电细棒外一点的场强，已知均匀带电圆环轴线上一点的场强，已知均匀带电圆盘轴线上一点的场强，试求均匀带电圆球轴线上一点的场强。
基本解题思路：利用点电荷的场强计算式： $\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q}{r^2}\vec{e_r}$ ;再利用积分求和即可得到答案。
问题引导
- 如图所示，设真空中有一均匀带电细棒AB的电荷线密度为 $\lambda$ ； $P$ 为 $AB$ 外的一点，它到 $AB$ 的距离为 $a$ ， $AP$ 、 $BP$ 与 $y$ 轴的夹角分别为 $\theta_1$ ， $\theta_2$ ，求带电棒在 $P$ 点产生的场强。
  
  QQ图片20190403200210.jpg
  
  - 注意：（1）选好点电荷；（2）尽量使矢量积分简化（化矢量积分为标量积分，注意多变量统一）
  
  解：
  
  在 $AB$ 棒上任取一段微元（电荷元） $dy$ ，故有此所带的电荷量为 $dq=\lambda dy$ ，
  故其在 $P$ 点所产生的场强为 $d\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2}\vec{e_r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda dy}{r^2}\vec{e_r}$
  注： $\vec{e_r}$ 表示由施力电荷指向受力电荷的单位矢量。
  因为这是一个二维场，故有在 $x，y$ 轴上的投影分别为（化标量）
  $dE_x=dEsin\theta=\frac {\lambda sin\theta}{4\pi\epsilon_0}dy$
  $dE_y=dEcos\theta=\frac{\lambda cos\theta}{4\pi\epsilon_0}dy$
  式子中的 $\theta$ 为 $d\vec{E}$ 与 $y$ 轴的夹角， $r$ 为线元 $dy$ 到 $P$ 点的距离。
  由图易得，变量 $\theta，y，r$ 之间的关系为
  $y=-acot\theta$ ， $r=\frac{a}{sin\theta}=acsc\theta$
  故有 $dy=\frac{ad\theta}{sin^2\theta}=acsc^2\theta d\theta$
  所以，
  $dE_x=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0a}sin\theta d\theta$
  $dE_y=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0a}cos\theta d\theta$
  对二式积分，即可得到在 $P$ 点处的 $X，Y$ 方向上的合场强
  即 $E_x=\int^{\theta_2}_{\theta_1} dE_x=\int^{\theta_2}_{\theta_1}\frac{\lambda sin\theta}{4\pi \epsilon_0a}d\theta=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0a}（cos\theta_1-cos\theta_2）$
  $E_y=\int^{\theta_2}_{\theta_1} dE_y=\int^{\theta_2}_{\theta_1}\frac{\lambda cos\theta}{4\pi \epsilon_0a}d\theta=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0a}（sin\theta_2-sin\theta_1）$
  故在 $P$ 点处的场强：
  $\vec{E}=E_x\vec{i}+E_y\vec{j}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0a}[（cos\theta_1-cos\theta_2）\vec{i}+（sin\theta_2-sin\theta_1）\vec{j}]$
  如若细棒可认为无限长，则可有 $\theta_1=0，\theta_2=\pi$
  即得细棒在 $P$ 点处的场强 $\vec{E}=E_x\vec{i}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0a}\vec{i}$
  
  方向：该处场强的方向与细棒垂直。
- 如图所示，该均匀带电圆盘 $L$ 的半径为 $R$ ，所带电荷为 $q$ ，则求垂直于环面，且过环心的 $x$ 轴上任一点 $P$ 的场强。
  
  QQ图片20190403200216.jpg
  
  - 注意：（1）选好点电荷；（2）尽量使矢量积分简化（化矢量积分为标量积分，注意多变量统一）
  
  解：
  
  在圆环 $L$ 任取一电荷元 $dq$ ，则其在 $P$ 点处产生的场强为： $d\vec{E}=\frac{dq}{4\pi\epsilon_0r^2}\vec{e_r}$
  显然由图可得，这是二维场，电荷对称分布。
  所以，使得对称方向上的成对等量电荷元 $q，q'$ 在 $y$ 方向上的场强等大反向，相互抵消。
  于是， $P$ 点处的场强仅仅只有 $x$ 方向上的分量。
  即 $dq$ 在 $P$ 点处场强在 $x$ 方向上的投影为：
  $cos\theta=\frac{x}{r}$ 此处 $x，r$ 均可认为是常量。
  $dE=dE_xcos\theta=\frac{dq}{4\pi \epsilon_0 r^2}cos\theta=\frac{xdq}{4\pi \epsilon_0 r^3}$
  对上式进行积分，即可得到 $P$ 点处的场强大小
  $E=E_x=\int dE_x=\oint \frac{xdq}{4\pi \epsilon_0 r^3}=\frac{xq}{4\pi \epsilon_0 r^3}=\frac{xq}{4\pi \epsilon_0 （x^2+R^2）^\frac{3}{2}}$
  即可得到一些推论：
  当 $P$ 点位于环心时（ $x=0$ ），其产生场强为0；
  当 $P$ 点距离环心无限远时（ $x>>R$ ），其产生的场强为 $E=\frac{q}{4\pi \epsilon_0x^2}$
  
  方向：该处场强的方向与圆环平面垂直。
- 如图所示，有一半径为 $R$ 的均匀带电圆盘，其电荷面密度为 $\sigma$ ，试求过盘心，且垂直于盘面的轴上的场强。
  
  QQ图片20190403200222.jpg
  
  - 注意：（1）选好点电荷；（2）尽量使矢量积分简化（化矢量积分为标量积分，注意多变量统一）
  
  解：
  
  该带电圆盘可等效为由半径为0至半径为 $R$ 的带电圆环构成的。
  可在圆盘内取一半径为 $r$ ，宽为 $dr$ 的环带作为电荷元，其所带电荷量为 $dq=\sigma 2\pi rdr$
  这是一个二维场，由于电荷对称分布，所以只有 $x$ 轴方向上的场强分量。
  所以，在 $P$ 点处的场强大小为 $dE=\frac{xdq}{4\pi \epsilon_0 （x^2+r^2）^\frac{3}{2}}=\frac{\sigma xrdr}{2\epsilon_0 （x^2+r^2）^\frac{3}{2}}$
  对上式进行积分，即可得到整个圆盘在 $P$ 点处产生的场强大小：
  $E=\int dE=\int ^{R} _{0}\frac{\sigma xrdr}{2\epsilon_0 （x^2+r^2）^\frac{3}{2}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}[1-\frac{x}{(x^2+R^2)^\frac{1}{2}}]$
  则有当圆盘无限大时，即 $R>>x$ 时，有 $\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon}\vec{i}$
  
  方向：该处场强的方向与圆盘平面垂直。
解决问题
- 如图所示，有一半径为R的均匀实心带电圆球，所带电量为 $Q$ ，试求过球心，其轴线上距离球心 $x_0$ 处 $P$ 点的场强。
  
  QQ图片20190403203541.jpg
  - 注意：（1）选好点电荷；（2）尽量使矢量积分简化（化矢量积分为标量积分，注意多变量统一）
  解：
  
  该带电圆球可等效为由半径为0至半径为 $R$ 的带电圆盘构成的。
  可在圆球内取一距离圆心为 $l$ ,半径为 $r$ ，宽为 $dl$ 的盘块作为电荷元。
  $R^2=r^2+l^2$ 所以， $r^2=R^2-l^2$
  则其所带电荷量 $dq=\frac{3Q}{4\pi R^3} \pi r^2dl=\frac{3Q}{4R^3}r^2dl$
  所以，电荷面密度 $\sigma=\frac{3Q}{4\pi R^3}dl$
  所取圆盘距球心距离为 $l$ ，距离 $P$ 点为 $x$ ，则 $x=x_0-l$
  即有，在 $P$ 处的场强大小为 $dE=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}[1-\frac{x}{(x^2+r^2)^\frac{1}{2}}]=\frac{3Q}{8\epsilon_0 \pi R^3}[1-\frac{x_0-l}{(（x_0-l）^2+R^2-l^2))^\frac{1}{2}}]dl$
  对上式积分即可得到整个圆球体在 $P$ 点处产生的场强大小：
  $E=\int dE=\int ^{R} _{-R}\frac{3Q}{8\epsilon_0 \pi R^3}[1-\frac{x_0-l}{(（x_0-l）^2+R^2-l^2))^\frac{1}{2}}]dl=\int^R _{-R}\frac{3Q}{8\epsilon_0 \pi R^3}(\frac{x_0^2-2x_0l+R^2+x_0-l}{-2x_0l+x_0^2+R^2})dl=\frac{3Q}{8\epsilon_0 \pi R^3}(\frac{R^3}{3x_0^2}-(-\frac{R^3}{3x_0^2}))=\frac{Q}{4\epsilon_0 \pi x_0^2}$
  
  方向： $P$ 点的场强方向与轴线方向相同