单值化定理

后来克莱布什把注意力转向所谓曲线的单值化问题。首先说明这个问题的含义。已给方程,把它表成参量形式z=sint,w=cost,或参量形式。这样，即使定义w为z的多值函数，我们也能把z和w都表示成t的单值函数，z,w关于t的函数称为参量方程，或把代数方程单值化。
对亏格0的方程f(w,z)=0，克莱布什证明每个变量能够表示成单个参量的有理函数。这些函数都是单值化函数。当f=0解释为一条曲线时，称为有理曲线。反之，若f=0的变量w与z能够用一个任意参量有理表出，则f=0的亏格为0。
同年克莱布什证明当p=1时w与z能够表示成参量ξ与η的有理函数，其中是ξ的三次或四次多项式。于是f(w,z)=0，相应的曲线称为双有理的（这是凯莱引进的名词）。它也叫做椭圆的，因为方程导致椭圆积分。我们也说w与z可表示成单参量α的双周期单值函数，或者表示成为p(α)的有理函数，这里p(α)是魏尔斯特拉斯函数。克莱布什用一个参量的椭圆函数把亏格1的曲线单值化，使他有可能证明这些曲线有关拐点、密切锥、从一点到曲线的切线等值得注意的性质，其中有些性质虽早有证明但却极其困难。
对于亏格为2的方程f(w,z)=0，Alexander von Brill(1842-1935)证明了变量w与z能够表示为ξ与η的有理函数，其中η^2现为ξ的5次或6次多项式。
这样，亏格为0,1,2的函数能够单值化。对亏格大于2的函数f(w,z)=0，当时的想法是用更一般的函数，即自守函数。1882年克莱因给出一个普遍的单值化定理，但其证明是不完全的，1883年庞加莱发表了他的一般单值化定理，但也没有完全的证明，二人继续努力证明这个定理，但搞了25年没出决定性成果。1907年庞加莱和克贝(Paul Koebe,1882-1945)各自独立给出证明，克贝把结果推广到许多方面。现在既已严密地建立了单值化定理，那就有更好的办法来处理代数函数及其积分了。