1.4 等可能概型

古典概型
几何概型

例：分析“抛硬币”、“掷骰子”等随机试验的特征

只有有限个基本结果
每个基本结果的出现是等可能的

古典概型

设随机试验的样本空间为 $\Omega$ , 若

$\Omega$ 只含有限个样本点,即
$\Omega = \left\{ \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \cdots , \omega _ { n } \right\}$
每个样本点的出现是等可能的,即
$P \left\{ \omega _ { 1 } \right\} = P \left\{ \omega _ { 2 } \right\} = \cdots P \left\{ \omega _ { n } \right\} = \frac { 1 } { n }$
则称该试验为古典概型

古典概型的概率计算
设事件 $A$ 含有 $k$ 个样本点，即
$A = \left\{ \omega _ { i _ { 1 } } , \omega _ { i _ { 2 } } , \cdots , \omega _ { i _ { k } } \right\} = \left\{ \omega _ { i _ { 1 } } \right\} \cup \left\{ \omega _ { i _ { 2 } } \right\} \cup \cdots \cup \left\{ \omega _ { i _ { k } } \right\},$
故由概率的可列可加性
$\begin{aligned} P ( A ) & = P \left\{ \omega _ { i _ { 1 } } \right\} + P \left\{ \omega _ { i _ { 2 } } \right\} + \cdots + P \left\{ \omega _ { i k } \right\} \\ & = \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { n } + \cdots + \frac { 1 } { n } = \frac { k } { n } \end{aligned}$
通常称 $A$ 中的样本点为 $A$ 的有利场合，故
$P(A)=\frac{A\text{的有利场合数}}{\Omega\text{的样本点总数}}=\frac kn$

例1：抛两枚硬币,求出现一个正面一个反面的概率
解：该试验的样本空间为
$\Omega = \{ \mathrm { HH } , \mathrm { HT } , \mathrm { TH } , \mathrm { TT } \}$
这是一个古典概型,事件 $A$ ：“一个正面一个反面”的有利场合是 $\mathrm { HT } , \mathrm { TH }$ ，故
$P ( A ) = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 }$

思考：为什么该试验的样本空间不是 $\Omega = \{ \mathrm { HH } , \mathrm { HT } , \mathrm { TT } \}$ ？如果是这样，将得到 $P(A)=\frac13$ ！

提示：这曾经是18世纪法国数学家达朗贝尔的作法，错误在于这样就不是古典概型了。

计算古典概型常用的数学工具

选排列：从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列，则不同排列的总数为
- 全排列：当 $k=n$ 时，排列总数为 $A _ { n } ^ { n } = n !$
组合：从 $n$ 个不同的元素中，任取 $k\leq n$ 个元素构成一组（一个集合），则不同组合的总数为
$C _ { n } ^ { k } = \frac { A _ { n } ^ { k } } { A _ { k } ^ { k } } = \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } = \frac { n ( n - 1 ) \cdots ( n - k + 1 ) } { k ! }$
加法原理：做一件事（完成一次试验）共有 $n$ 类（条）不同的方法（途径），每类方法又可以分为若干个子方法，如图

加法原理

则，完成该事件的方法总数为
$N = m _ { 1 } + m _ { 2 } + \cdots + m _ { n }$
乘法原理：做一件事（完成一个试验）可分为 $n$ 个步骤，且每个步骤又有若干种方法，如图

乘法原理

则，完成该事件的方法总数为
$N = m _ { 1 } \cdot m _ { 2 } \cdots m _ { n }$

例2（摸球问题）从装有 $𝑟$ 个红球和 $𝑏$ 个蓝球的口袋里依次摸出两个球，求两个均为红球的概率？

分析：两种不同的情况：

有放回抽样（sampling with replace）
$\frac { r ^ { 2 } } { ( r + b ) ^ { 2 } }$
无放回抽样（sampling without replace）
$\frac { C _ { r } ^ { 2 } } { C _ { r + b } ^ { 2 } }$

思考：（摸球问题）从装有 $𝑟$ 个红球和 $𝑏$ 个蓝球的口袋里依次摸出 $𝑛(𝑛\leq 𝑟+𝑏)$ 个球，求其中恰好有 $𝑘$ 个红球的概率。

分析：两种不同的情况：

有放回：
$\frac { C _ { n } ^ { k } r ^ { k } b ^ { n - k } } { ( r + b ) ^ { n } }$
无放回：
$\frac { C _ { r } ^ { k } C _ { b } ^ { n - k } } { C _ { r + b } ^ { n } }$

例3（抽签问题） $𝑀$ 个学生抽签获取某音乐会的入场券，现有入场券 $𝑁(𝑁<𝑀)$ 张。问每个人抽到入场券的概率与抽签顺序是否有关？

分析：设某人第 $k$ 个抽，考虑两种不同的思路：

抽签问题

1.所有的签都有签号，结果
$\frac { N ( M - 1 ) ! } { M ! } = \frac { N } { M }$
1.所有的签都无签号
$\frac { C _ { M - 1 } ^ { N - 1 } } { C _ { M } ^ { N } } = \frac { N } { M }$

注：

有签号意味着票是可区分的，因此要用排列来计算
无签号意味着票是不可能区分的，因此使用组合来计算
确定了样本空间的结构后，有利场合的构造必须与样本空间结构相一致
以上的抽签问题也可以归结为求模型：袋中有 $M$ 只球，其中 $N$ 只为红球，其余为白球，随机地球逐个取出，问第 $k$ 个恰好为红球的概率

例4：从 $𝑁$ 个元素 $𝑎_1,𝑎_2,…,𝑎_𝑁$ 中有放回地取出 $𝑛(𝑛<𝑁)$ 个，求事件 $𝐴=\{\text{恰好取出了}𝑛\text{个不重复的元素}\}$ 的概率。

分析：转化为扔球模型

扔球模型

P ( A ) = \frac { A _ { N } ^ { n } } { N ^ { n } }

思考：（生日问题）一个班级中共有 $𝑛$ 个同学,求没有任何两人生日相同的概率。

分析： $𝑛$ 个人对应于 $𝑛$ 只球， $365$ 天对应于 $365$ 个盒子，则
$𝑃\{\text{没有任何两人生日相同}\}= \frac { A _ { 365 } ^ { n } } { 365 ^ { n } }$

至少有两个同学生日相同的概率

注：

在实际应用中,概率非常接近1的事件可近似地看成必然事件，称为几乎必然事件，例如：一个超过60人的班级中,有两个人的生日在同一天是几乎必然事件
概率非常小的事件,称为小概率事件。
实际推断原理：小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的

例5：5架战机要摧毁敌5个地面目标。战斗中每架战机随机选择一个敌目标投掷一枚炸弹。假设每枚炸弹都准确命中目标，且一枚炸弹就可摧毁敌目标。求5个地面目标全被摧毁的概率。

分析：
$P = \frac { 5 ! } { 5 ^ { 5 } } \approx 0.0384$
结论：在缺少有效计划和协同的情况下，即使个体作战能力很强，整体作战效能也是极低的！

例6：某接待站在某周接待了12次来访,已知这12次来访都是在周二和周四进行的. 问是否可以推断接待站的接待时间是有规定的？

解：假设接待站的接待时间没有规定,且认为来访者每周任一天到达是等可能的。则
$P\{12\text{次来访都在周二和周四}\}= \frac { 2 ^ { 12 } } { 7 ^ { 12 } } \approx 0.0000003$
由于上述概率非常小，故由实际推断原理，可推断接待站接待时间是有规定的。

注:这实际上是概率反证法。

思考一下：如果12次来访都不在星期日,问能否推断接待站星期日不接待来访者？

分析：假设星期日接待来访者，则
$P\{12\text{次来访都在周一到周六}\} = \frac { 6 ^ { 12 } } { 7 ^ { 12 } } \approx 0.157$
因为这个概率不是很小，故难以断定星期日是否接待来访者。

几何概型

几何概型可以看成是对古典概型的“有限个样本点”等可能出现到“无无限个样本点”等可能出现的推广

例：某1千平方米的区域中，有一个10平方米的敌目标。现向该区域随机发射一发炮弹，求能将目标摧毁的概率。

分析：由于炮弹发射的随机性,可认为炮弹落在1千平方米的区域中任一点是等可能的。则所求概率为
$p=\frac{\text{目标面积}}{\text{区域总面积}}=\frac{10}{1000}=0.01$

考虑随机试验：向平面区域 $\Omega$ 投掷一个点，观察该点是否落入某平面区域 $A$ 内。假设

$\Omega$ 是有界的
投掷的点落在 $\Omega$ 上每一点上的概率相同
则称上述试验为一个几何概型。显然
$P(A)=\frac{A\text{的面积}}{\Omega\text{的面积}}$

注：如果样本空间为直线上有界区间、3维空间有界区域,则“面积” 相应改为“长度”、“体积”。

例：在一次军事演习中，某舟桥连接到命令要赶到某小河D岸为行进中的A部队架设浮桥。假设舟桥连将于7点到7点30分之间到达D岸，架桥需要20分钟时间；A部队将于7点30分至8点之间到达D岸。试求A部队到达D岸时能立即过河的概率.

过河问题

解：设7点为零时，记 $x,y$ 分别为舟桥连与A部队到达
D岸的时间，则A部队到达D岸时能立即过河的充要条件是
$\left\{ \begin{array} { c } { x + 20 \leq y } \\ { 0 \leq x \leq 30 } \\ { 30 \leq y \leq 60 } \end{array} \right.$
这是一个几何概型，所求概率是
$p = \frac { 30 ^ { 2 } - 20 ^ { 2 } / 2 } { 30 ^ { 2 } } = \frac { 7 } { 9 }$

课后思考题：习题一：5，6，7，8，10，12，14