1.三维空间下的线性变换

上篇笔记讲了向量与矩阵在二维空间的几何含义，这篇从三维空间说起。
相比于二维空间下的线性变换，三维空间多考虑了一个基向量 $\vec{k}$ 。
三维空间进行线性变换可以变换为一个三维空间、一个平面、一条线、甚至是原点。

2.行列式

行列式是用来度量变换前后空间改变的比例大小。我们通常以基向量构成的平面或立体为观察点，只需观察变换前后基向量构成的空间大小变化情况，就能得出行列式的值。

行列式c

行列式的值可正可负，也可为0。

取基向量为 $\vec{i}=\begin {bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ， $\vec{j}=\begin {bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}$ ，则它们围成的正方形面积为1。若变换后的基向量的相对顺序不改变，即 $\vec{i}$ 仍在 $\vec{j}$ 的右边，那么行列式为正，反之为负。

行列式由正到零再到负

2.1 行列式为0

明白了行列式的几何意义，行列式为0就很容易理解了。线性变换将空间面积/体积压缩至0。
2D空间中，det=0意味着空间被压缩成了一条直线或者是一个点。
3D空间中，det=0意味着空间被压缩成了一个平面、直线、或者是一个点。

以方程组来阐述：

非齐次线性方程组

向量 $\vec{x}$ 经过一个线性变换 $A$ 变成了向量 $\vec{v}$ 。

1.如果 $A$ 将此3维空间压缩到至更低维度，则相当于行列式为0，此时 $A$ 没有逆变换 $A^{-1}$ ，因为线性变换后空间变成了平面、直线、或者是一个点。
上述情况下，都不能通过逆变换将其变为原来的3D空间。

但 $\vec{x}$ 可能存在解，因为 $\vec{v}$ 恰好处于变换后的平面、直线上，甚至于 $\vec{v}$ 为零向量。

变换后空间的维度被称为此矩阵的秩，因此如果不是满秩，则矩阵的列必然线性相关。因为变换后的某些基向量没有为张成空间做出贡献。我们用列空间来描述变换后基向量张成的空间，那么秩更精确的定义就是列空间的维数。

只要变换后不是满秩，那么说明变换压缩了空间，并且有一系列向量变换成了零向量，这类向量张成的空间我们称之为零空间——或者叫做核。即齐次线性方程组的解就是核。

零空间

2.2 行列式不为0

表明变换为满秩。此时空间中只有零向量不进行变换。其他所有向量都进行了变换。变换存在逆变换，我们可以通过计算逆变换来求解方程组。

行列式不为0

逆变换的性质如下：

对空间应用一个 $A$ 代表的变换，然后应用一个 $A^{-1}$ 代表的逆变换，空间无任何变化。

求解形如 $A\vec{x}=\vec{v}$ 的非齐次线性方程组时，如果方程组有解(行列式不为0)，那么一定存在唯一一个 $\vec{x}$ 使得线性变换后与 $\vec{v}$ 重合。

逆变换

3.非方阵

之前我们针对的都是方阵，即行数与列数相等的矩阵，如果换成非方阵，情况有什么不同呢？

不同维度下的线性变换

我们往往要针对不同维度的变量进行转换，或者是降维，或者是升维，一个很常见的应用就是神经网络，信息在不同维度间传递，这就涉及到利用非方阵来进行线性变换。

如图所示： $\vec{x}=\begin {bmatrix} 2\\7 \end {bmatrix}$ ， $\vec{v}=\begin {bmatrix} 1\\8\\2 \end {bmatrix}$ ，要使 $A\vec{x}=\vec{v}$ ，则 $A$ 这个线性变换为形如 $A=\begin {bmatrix} a&b\\c&d\\e&f \end{bmatrix}$ 的非方阵。