本人水平有限，如果有错误的地方，希望各位大神能够不吝赐教，及时指正。
按照惯例，喝水不忘掘井人，首先要感谢发明人工神经网络的那些前辈。其次，也要感谢Sean的引领，把我带入这一行，否则，光靠我自己摸索，会花去更多的时间、精力。最后，要感谢无数的人，那些对我的思考方式产生影响的人。
现在每掌握一种新的算法，心情都是喜忧参半，喜的是，技多不压身，又多了一个解决问题的手段，忧的是，这手段来钱快么？好像不能指望其预测股价啊。
在神经网络模型中，需要用到导数的概念，如果还不是太了解导数（偏导、链式法则），这里给出以下几种办法：
1、先行补导数的知识
2、跳过相关推导过程
3、请我喝一杯咖啡，我把半桶水的功力全部传授给你
4、硬着头皮看下推导
5、或许我可能会稍微解释一下
那个有关神经的生物图，我就不再画了，应该每个人都有一个印象了，主要还是画画技术不过关，但是计算机领域神经网络的结构图还是要画的。
（感觉画图不太适合自己，为了节省时间，部分线条采用手工绘制，图画只能将就将就了）
（大概也只有灵魂画手才能画出这样的图了吧，希望拙劣的图片不会影响文字的讲解）
当然，最右边的蓝色椭圆N，也可以有多个。
聪明的你，看图应该可以猜到了，既然最右的蓝色椭圆N可以有多个，那就意味着，神经网络模型既可以用来作为二分类，也可以用来作为多分类，而且它是非线性回归的。
在继续下去之前，有些地方需要解释一下，蓝色椭圆中，N的右上角的字符，表示N所在的列数，N右下角的字符，表示它是该列的第几个N；每一根褐色和蓝色的手绘线条，都代表了相应的权重。最右边的黑色箭头，代表着输出；红色的框框表示，框内的都是隐藏层，很明显，除了第一层的输入以及最后一层的那个N之外，其余都属于隐藏层。
（题外话，另一个同样是我个人觉得有必要再说明一下的是：采用“输入”、“权重”这样的字眼是不是有点那啥.... 没错，我完全可以用x, w，甚至一些希腊字母来代替，但是，你们应该发现了，我这里使用了'N'，仅仅是它是“Neural”的首字母缩写，其它的相关文章，可能这里会使用其它的代号，这正是数学美丽的地方，也是容易让人产生错觉的地方，从小到大我们习惯接受了X，X是变量，但是变量不一定就是X，完全可以用B、i、n、H、a、o，这些来表示变量，甚至一些稀奇古怪的符号，比如五角星，或者这里的N+右上角的字符，甚至我也可以就用Binhao来做变量，你可以把Binhao看作一个单独的变量，也可以把它理解为之前B、i、n、H、a、o，6个变量的乘积，放在这里作为输入，同理，权重也可以出现五花八门的表现形式，以致于，我们经常会产生错觉，在看不同作者的文章时，经常会问自己“他讲的和我想的是同一个事物么？”“我之前大概学的是假的吧？”，所以我们应该明白，这些都是数学的变幻，其本质是相通的。）
继续，这里的每一个蓝色的椭圆里的N会干些什么呢？它就是每一个连接到它的输入乘以权重的总和，再作为另一个被称之为Activation函数的输入。这里，我们先不讨论Activation函数又是什么，暂且认为它是一个关于N的函数，那么，每一个N具体至少包括以下两个步骤：
(1). z = ∑wx（1....n）
(2). y = f(z)
[限于键盘输入的限制，也是为了节省时间，这里的w（权重），x（输入）其实是代表了向量，因为从图里就能看到了，一串的输入和一串的权重]
接下去的问题是，这样得到的z是不是可以直接作为参数给f()然后activation传递到下一层了呢？不行，我们还需要给它设置一个阈值，假设，就叫作T吧，那就是z要减去T，如果这个相减结果大于0，才能输出。你可能会问为什么，为什么要来一个阈值，ok，我们现在讨论的是神经网络，就是人工模拟大脑神经的活动，实际上真实的神经被激活需要脉冲达到一定的电位，也就是临界阈值，然后才会对累积的外界信号做出响应进行传递。（T也就是R代码实现时的“Bias Terms”偏差项，也可以看作y=wx + b的b（w、x是向量）。所以你看，代号并不重要，理清本质比较关键）
其实，我们不需要为这个T而烦恼，数学很美丽，而且会变幻，我们早就遇到过，我可以完全把T也看作一个恒定的输入，它的权重是-1，这样一来，z=∑wx 其实下标就是从0开始 z=∑wx (0...n) 【再次说明，限于键盘输入的限制，也是为了节省时间，你们应该能理解其实它真正是什么样子的。这正好也印证了之前提到的，不要拘泥于公式的表象用了什么变量和展现形式】我们最终要对模型进行训练，就是不断调整所有这些权重（包括这个阈值）和隐藏层数，最后达到比较理想的效果。
是时候来讨论一波Activation函数了。为什么需要Activation函数，首先，模仿神经，累积的能量达到临界阈值需要被激活，其次，Sean已经给我们解释过了，没有激活函数的话，就完完全全是线性的了，那么中间一大堆隐藏层就显得毫无意义，所以需要一个Activation函数来加入非线性的元素。那么，我们需要什么样的Activation函数？它必须得非线性，而且我们希望它能把数据映射到0-1之间，这样可以应用到概率上，进行分类。（Sean其实已经给我们讲了好几个Activation函数了）
先来看看，假设我们之前没有采用数学技巧把T给变幻了，Activation函数会是怎样的：
大致是这样的，在遇到T（大于T）之前，不会被激活，所以一直是0，遇到T之后，开始被激活，变为1。
再来看看，我们采用数学技巧，把T变幻了之后，Activation函数又是怎么样的：
T被作为一个恒定输入，权重为-1，提前被减掉了。
看起来不错，数值都被映射到了0-1之间，那它就是我们要的Activation函数了么？不，不是。理由很简单，本文开头，已经提到了，神经网络需要用到导数知识，而导数的一个先决条件是，在包含求导的这一点的某区间内，函数曲线必须是连续的，平滑的。这个显然不是。
既然要连续，平滑，于是我们找到了它（Sigmoid函数）：
就是它了。（当然别的也是可以的，Sean都已经提到过）
看看还有什么遗漏的，哦，对，那些个隐藏层，既然它们叫做隐藏层，那就真的可以把它们看作是黑盒子，所以，简化下图-1和图-2，得到下图：
难看是难看了一点，将就一下吧。但不影响接下去的重点。
从神经网络角度，我们简单地把输出看作是：y = f(w,x) 输出y是向量w和x的函数（键盘输入限制，不画那根箭头了，但是心里要清楚，这是向量）
而实际的结果则是：a = g(x) 实际值a是输入x的函数（x是向量，理由同上）。
写到这里，你应该已经明白了，判断一个神经网络模型训练结果好坏，其实就是 1/2 * [(a - y)^2]的值要最小。这里1/2没有其它意义，纯碎是数学便利，求导方便。这个1/2 * [(a - y)^2]的图像是个凸函数，求最小值即可，也就是切线斜率为0的点。
但是，Sean曾经告诉过我们，从山顶下坡到最低点的例子了，所以，我打算求个最大值，也就是从山脚爬坡到最高点，所以这个函数要变一下：
-1/2 * [(a - y)^2]，加了个负号，则求最小值就变为求最大值了。凸函数变凹函数了。梯度下降改为梯度上升。
在这之前，先补充讲解一下等高线图。因为我还没办法展示多维平面的山坡图，所以等高线图就是一个不错的备选。遐想一下从山顶俯瞰一座山，看到的应该是如下的图：
越里面的圆，表示的高度越高，最高的高度在最中间的圆心，每个圆上的所有点的高度都是相同的。
假设最开始随机的几个权限w，在靠近外围的圆，那我所要做的就是调整w，使它往高处走。令 p = -1/2 * [(a - y)^2]
根据导数和向量的知识，我们可以知道，delta w = 步长 *（p对横向数值的求导 * 横向的单位向量 + p对纵向数值的求导 * 纵向的单位向量）
步长可以看作希腊字母lamda，是为了控制权重w不要变化得太快，这个是我们自己可以设置的值。
那至于接下去该怎么求得这个最优权重呢？它和哪些因素有关呢？不妨从最简单的一个单一输入神经网络模型入手。
x是输入，w1，w2是权重，p1，p2是爬坡中途某个阶段的输出，S是Sigmoid函数。
现在我们要利用链式法则求P的偏导数。
【简单讲下链式法则：
s = 1/2 * gt^2，物理学的重力加速度g，在这里可以看作常数，那么唯一的变量就是t了，对t求导应该都会，gt。假设 t又等于x^2，现在我要求s对x求导，那么就是在s对t求导的基础上，再乘以t对x的求导（即x^2的导数），就是gt*2x（当然这个例子不太好，直接1/2 * gx^4也能求导，但是主要是体会下链式求导的规则）。同理，图中P对y求导，即-(a-y) * (-1) = (a-y)，减法的导数等于分别求导再减法，a是实际值常数，导数为0，y对自己的导数是1。】
ΔP/Δw2 = ΔP/Δy * Δy/Δw2 = (a-y) * Δy/Δp2 * Δp2/Δw2 = (a-y) * Δy/Δp2 * z
【p2，我们知道，就是z乘以权重w2，所以p2对w2求偏导，就是 z的导数乘以w2 + z乘以w2的导数（乘法导数规则），z是常数导数为0，w2的导数是1，所以和等于z。什么是偏导？偏导的求法其实和导数的求法是一样的，只不过多了一点，这里对w2求偏导，那么w2以外的都看作是常数。】
ΔP/Δw1 = ΔP/Δy * Δy/Δw1 = (a-y) * Δy/Δp2 * Δp2/Δw1
= (a-y) * Δy/Δp2 * Δp2/Δz *Δz/Δw1 = (a-y) * Δy/Δp2 * w2 *Δz/Δw1
= (a-y) * Δy/Δp2 * w2 * Δz/Δp1 * Δp1/Δw1
= (a-y) * Δy/Δp2 * w2 * Δz/Δp1 * x
现在来看一下分别对w1和w2求偏导后的公式，Δy/Δp2 ，Δz/Δp1 这两个的导数我们还不得而知，可是我们还有图-9，不是么？p2是y的输入，p1是z的输入，y是p2经过Sigmoid后的输出，
z是p1经过Sigmoid后的输出，所以Δy/Δp2 ，Δz/Δp1其实就是求Sigmoid的导数。
那就来对Sigmoid求导：
1/(1 + e^(-α)) 【图-5里，e的指数使用了z，但是这里为了避免混淆，所以改用希腊字母α。同时再次表明，数学公式变量是随便可以展现的，关键在于其核心思想】
也就等于 (1 + e^(-α))^(-1)
根据链式法则：= [-(1 + e^(-α) )^(-2)] * e^(-α) * (-1) = e^(-α) / (1 + e^(-a))^2
接下去还是画图吧，不然有点眼花缭乱。图虽然丑了点，但便于直观。
根据图-10继续运算的结果，Sigmoid函数 S = 1/(1 + e^(-α))， 求导的结果，S*(1-S)。
再回过头去看，Δy/Δp2 ，Δz/Δp1其实分别是y*(1-y)，z*(1-z)。
所以：
ΔP/Δw2 = (a-y) * y*(1-y) * z
ΔP/Δw1 = (a-y) * y*(1-y) * w2 * z*(1-z) * x
从公式看出，w2依赖于邻近的y和z，而w1除了依赖于邻近的x、y和z之外，还依赖于w2。
即便我们有N多个层的神经元，每个权重只依赖于它相邻的值以及上一层（我们这个例子，w2在w1之前）的权重。这就是反向神经网络传播。我们刚刚从右端推导到了左端。根据最终结果，首先推算出最邻近的w值，再算出下一列的w值，然后一列一列追溯上去，直到最末端，而且每一列的计算量差不多是相同的，不会有很大差别。
【说句题外话，在N多个算法中，我们已经看到很多类似的技巧，比如阈值替代，凹凸函数求极值，决策规则，概率....等等。包括这个，“一个变量的状态只和它相邻的数值有关联”，很容易让我想起马尔科夫模型，这就给我了一个启发，很多算法可以试着找出它们技巧的关键点，联合起来学习】
神经网络模型的训练，会存在过拟合的问题，因为它其实类似于曲线拟合。但曲线拟合可以有其它很多种方式，所以，有一种观点我是非常认同，并没有哪一个特别神奇的算法（包括后面可能继续写到的SVM算法）。在面对不同的问题时，重要的是如何将原始数据转换成输入向量，来有效反应问题本质，这个我觉得才是最难的。Sean即便把他那套预测股价走势的算法告诉我，我也肯定不会超越他，因为将原始数据转换成输入向量这一点，至少在股票问题上，我肯定是完败的。
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