题目描述：【Math】470. Implement Rand10() Using Rand7()
解题思路：
这道题是用等概率的 Rand7()（[1, 7]）产生等概率的 Rand10()（[1, 10]）。
因为是要产生等概率的 Rand10()， 因此诸如 Rand7() + Rand7() // 2 的做法就不用想了（不是等概率）。
但是有一条重要的数学性质：调用两次等概率的 RandN() 可以产生等概率的 Rand(N^2)()，如调用两次等概率的 Rand7() 可以产生等概率的 Rand49()。
这就好办了，我们可以用 Rand7() 先产生 Rand49()，得到等概率的 [1, 49]，然后随机产生一个数字，如果是 [41, 49]，丢弃了也无妨。如果是 [1, 40]，对 10 取模，就可以得到等概率的 [1, 10]。
那么，问题的关键在于，如何 Rand7() 两次来产生 Rand49() 呢？公式如下：
- Rand49() = Rand7() + 7 * (Rand7() - 1)
即 Rand7() 得到 [1,2,3,4,5,6,7]，7 * (Rand7() - 1) 得到 [0,7,14,21,28,35,42]，然后对应元素相加即可得到等概率的 [1,49] 了（画一个方阵对应着加一下）。
此解决方案可以推广到所有 RandN 生成 RandM (N < M) 的场景（如果 N >= M，直接丢弃超过 M 的数字即可）。
Python3 实现：
# The rand7() API is already defined for you.
# def rand7():
# @return a random integer in the range 1 to 7
class Solution:
def rand10(self):
"""
:rtype: int
"""
while True:
tem = rand7() + (7 * (rand7() - 1)) # 构造均匀分布 1~49
if tem <= 40: # 丢弃大于40的数字，保证等概率
return (tem - 1) % 10 + 1 # mod10 可以得到均匀分布的[1,10]
问题描述：【Math】478. Generate Random Point in a Circle
解题思路：
这道题给出圆的半径 r 及圆心坐标，随机生成一个在圆内或圆上的坐标。
很简单，只需要随机生成两个正负半径范围内的浮点数 x、y，然后判断是否满足 x^2 + y^2 <= r^2（= 表示可以在圆上），如果不满足，重新生成两个浮点数；满足的话，各自加上圆心坐标就是最后的结果。
Python3 实现：
class Solution:
def __init__(self, radius: float, x_center: float, y_center: float):
self.radius = radius
self.x_center = x_center
self.y_center = y_center
def randPoint(self) -> List[float]:
while True:
x = random.uniform(-self.radius, self.radius)
y = random.uniform(-self.radius, self.radius)
if x * x + y * y <= self.radius * self.radius:
return [self.x_center + x, self.y_center + y]
# Your Solution object will be instantiated and called as such:
# obj = Solution(radius, x_center, y_center)
# param_1 = obj.randPoint()
问题描述：【Binary Search】497. Random Point in Non-overlapping Rectangles
解题思路：
这道题是给一些不重叠的矩阵，从这些不重叠的矩阵中随机采样一个整数点（采样点包括矩阵边界）。
因为可能有很多矩阵，而我们又要保证等概率的选取一个点，因此我们可以先计算出每个矩阵能采样多少个点，并计算总采样点，然后 num = random.randint(1, 总采样点) 采样一个数 num。接下来，我们要计算这个 num 落在了哪一个矩阵中。这时我们可以像下面的 Leetcode 528 题一样，按顺序求出矩阵的前缀和，然后使用二分查找的方法计算 num 落在了哪一个矩阵中。最后，我们再像下面的 Leetcode 519 题一样，将 num 映射到二维坐标上，返回结果。
举个例子，假设有三个矩阵 rects = [[2,1,5,3], [1,1,2,2], [1,2,3,4]]，我们容易的计算出每个矩阵可以采样的点数分别为 [12,4,9]，总采样点数为 12+4+9 = 25，同时计算前缀和 pre_sum = [12,16,25]。我们假设随机了一个 [1, 25] 区间的数 num = 15，那么根据 pre_sum，就可以使用二分查找的方法，得到 15 应该位于 rects[1] 这个矩阵中，并且可以知道 15 是 rects[1] 中的第 3 个样本点（15-12=3）。最后，我们把这第 3 个样本点映射到二维坐标中，假设按照从左到右，从下到上映射，我们将会得到坐标 [1, 2]。
Python3 实现：
class Solution:
def __init__(self, rects: List[List[int]]):
self.rects = rects
self.pre_sum = [0] * len(rects) # 前缀和
self.pre_sum[0] = (rects[0][2] - rects[0][0] + 1) * (rects[0][3] - rects[0][1] + 1)
for i in range(1, len(rects)):
self.pre_sum[i] = self.pre_sum[i-1] + (rects[i][2] - rects[i][0] + 1) * (rects[i][3] - rects[i][1] + 1)
def pick(self) -> List[int]:
rand = random.randint(1, self.pre_sum[-1])
low, high = 0, len(self.pre_sum) - 1
# 根据前缀和进行二分查找，找到随机数落在哪个矩阵中（low即为位置）
while low <= high:
mid = (low + high) // 2
if self.pre_sum[mid] < rand:
low = mid + 1
elif self.pre_sum[mid] >= rand:
high = mid - 1
# 找到对应矩阵
x1, y1, x2, y2 = self.rects[low][0], self.rects[low][1], self.rects[low][2], self.rects[low][3]
rows = x2 - x1 + 1
cols = y2 - y1 + 1
if low != 0: # 在该矩阵中的rand值，取值为[1, rows*cols]
rand -= self.pre_sum[low-1]
rand -= 1 # 将rand值范围变为[0, rows*cols-1]，便于映射到二维坐标上
# 左下角对应0，右上角对应rows*cols-1，从左到右，从下到上
i = x1 + rand % rows
j = y1 + rand // rows
return [i, j]
# Your Solution object will be instantiated and called as such:
# obj = Solution(rects)
# param_1 = obj.pick()
问题描述：【Array】519. Random Flip Matrix
解题思路：
这道题是说给一个 n_rows 行 n_clos 的矩阵，初始化为 0。如果调用 flip 函数时，随机将 0 的位置置为 1，返回矩阵坐标。如果调用 reset 函数，重置矩阵为全 0。
因为时间消耗比较多的肯定是 random() 的调用次数，但是矩阵大小可以为 10000*10000，且 flip 函数最多调用 1000 次，因此我们可以随机多次 random() 函数，找到非 0 的位置，把它置为 1。
因为要求调用的 random() 次数最少，因此我们可以通过调用一次 random() 来计算出矩阵坐标（而不用两次）。例如 n_row = 2，n_cols = 3，我们随机一个 [0, n_rows*n_cols-1] 区间的数 num，然后使用 i = num // n_cols、j = num % n_cols 就可以得到对应矩阵的行列坐标（i，j）。
因为还要考虑到空间，所以直接开一个 n_rows 行 n_clos 的矩阵空间肯定是浪费的，而且在调用 reset 函数也是 O(n^2) 的复杂度，这样肯定不行。实际上，我们只需要保存那些置为 1 的坐标到一个集合中。在 flip 函数中，每次 random() 一个坐标，判断其是否在集合中（O(1) 复杂度），如果在，说明这个坐标之前已经被置为 1 了，那就重新 random() 一个坐标；如果不在，说明这个坐标之前没有被置为 1，就把当前坐标加入到集合中，同时返回该坐标。在 reset 函数中，我们也只需要 .clear() 清空这个集合即可。时间复杂度和空间复杂度都极大地降低。
Python3 实现：
class Solution:
def __init__(self, n_rows: int, n_cols: int):
self.n_rows = n_rows
self.n_cols = n_cols
self.one = set() # 保存置为1的那些坐标
def flip(self) -> List[int]:
while True:
rand = random.randint(1, self.n_rows*self.n_cols) - 1
row = rand // self.n_cols # 根据随机的数字计算矩阵行列坐标
col = rand % self.n_cols
if (row, col) not in self.one: # 之前没有被置为1的坐标
self.one.add((row, col))
return [row, col]
def reset(self) -> None:
self.one.clear() # 清空置为1的那些坐标
# Your Solution object will be instantiated and called as such:
# obj = Solution(n_rows, n_cols)
# param_1 = obj.flip()
# obj.reset()
题目描述：【Binary Search】528. Random Pick with Weight
解题思路：
这道题实际上是给一个数组 w，其中 w[i] 代表位置 i 的权重。写一个函数，可以随机地获取位置 i，选取位置 i 的概率与 w[i] 成正比。
举个例子，w = [1,3,2,2]，我们需要随机的获取位置 i (0、1、2、3)，选取位置 0 的概率是 1/(1+3+2+2) = 1/8，选取位置 1 的概率是 3/(1+3+2+2) = 3/8，选取位置 2 的概率是 2/(1+3+2+2) = 2/8，选取位置 3 的概率是 1/(1+3+2+2) = 2/8。
弄懂题意后，我们可以想到先随机一个 [1, 8] 中间的数，比如 7，那么 7 是哪个位置的呢？很明显属于位置 3；如果随机的数是 3，则属于位置 1。
因此，我们可以先求出 w = [1,3,2,2] 的前缀和，得到 pre_sum = [1,4,6,8]，分别对应位置 0 到 3，然后随机产生一个 num = random.randint(1, 8)（1 <= num <= 8），使用二分查找的方法确定落在哪个对应的位置即可。时间复杂度为 O(logn)。
Python3 实现：
class Solution:
def __init__(self, w: List[int]):
self.tot = sum(w) # 总和
self.pre_sum = [0] * len(w) # 前缀和
self.pre_sum[0] = w[0]
for i in range(1, len(w)):
self.pre_sum[i] = self.pre_sum[i-1] + w[i]
def pickIndex(self) -> int:
tot = self.tot
pre_sum = self.pre_sum
rand = random.randint(1, tot) # 随机产生一个数1<=rand<=tot
low, high = 0, len(pre_sum) - 1
while low <= high: # 二分查找
mid = (low + high) // 2
if pre_sum[mid] < rand:
low = mid + 1
elif pre_sum[mid] >= rand:
high = mid - 1
return low # 最终的对应位置
# Your Solution object will be instantiated and called as such:
# obj = Solution(w)
# param_1 = obj.pickIndex()
