数学里有很多很漂亮和巧妙的东西，但是对我来说很多都是很难去理解很难纳入自己的认知和知识体系的。要是有一些物理的图像来帮助就好多了，物理和数学的互相促进理解，就很有意思了。这次要讲的spectral curve就是关于在黎曼面上的分析问题。
这周的总结也迟迟没有下笔，因为也不是有了很好的理解，晚上做梦梦见了自己变成了Riemann surface，似乎有所得，可是醒来就忘记了，希望在下面的学习中能慢慢深入理解吧。

在AdS/CFT的框架下，我们可以有一些好的理解或是启示。这个duality告诉我们说：
energy spectrum of string states = anomalous dimension spectrum of the primary operators.
在CFT这边，因为有可积性，spectrum的信息是蕴含在一些代数data里面：Bethe roots。所以问题就是在string这边是不是也有一些data直接表示string states 呢？这个data就是来自于spectral curve里了。

狭义上来讲，spectral curve就是Lax operator的特征方程。因为Lax operator自己带有一个spectral parameter，所以可以理解为特征函数是一个定义在C^2（另一个变量对应了本征值）上的一个代数表达式。所以spectral curve是一个复一维实二维的object，可以直接理解为一个concrete Riemann surface。通过加一些在无穷远处点做紧致话还有regularization，我们最后总可以得到一个non-singular compact的abstract Riemann surface。我们一般是把这个最后处理好的Riemann surface 当做我们的对象。这时，就可以想像Lax operator的本征函数是这个Riemann surface上面的一个函数。Riemann surface上面的全纯函数几乎是trivial的，上面的半纯函数有很简单的结构：被他的pole完全确定up to a constant。这样的话，对于半纯函数在Riemann上面的loop integral 就可以完全刻画所有的pole的信息，并且不依赖那个constant。因为我们知道Lax operator的本征值蕴含了所有守恒量的信息，通过我们刚才的构造，就把这些信息转移到了 loop integral里。所以独立的loop integral就构成了所有的angle variables用来刻画一半的相空间。而独立的loop integral的数目有等于Riemann surface的genus。反过来想也很有意思，如果你有一个Riemann surface，你能构造的最简答的拓扑不变量就是那些loop integral，他们是属于cohomology group H1的元素。然后你发现这些元素可以对应一个可积系统里面的所有的守恒量。物理，几何，代数，拓扑好像一下子都联系起来了。

当然我们还需要另一半的相空间的信息。也是很自然的，考虑完本征值，就该考虑本征向量了。选取适当的归一化条件后会发现本征向量的components也是一个定义在之前Riemann surface上面的半纯函数。characterized这个半纯函数的pole称为divisor就对应了另外一半的想空间：这action variables。

把两个信息联合起来，就有了一一对应：a state or solution == a Riemann surface with marked points on it
所以Reimann surface的moduli space就是我们所说刻画string state的data。