数系的每一次扩张，都是因为遇到了无法解决的问题。
人类在接受了无理数在数学界的正式地位后，又遇到了新的难题：像X^2+1=0这样简单的二次方程，在实数范围内竟然无解，当从形式上去解时，得到了x^2=-1， 由于正数的平方是正数，负数的平方也是正数，也就是说，任何数的平方都是正的，负数是不可能有平方根的。
但是在三次方程中，人们又遇到了这样的尴尬，比如x^3(x的3次方)=7x+6， 它明明有三个根，即3，-2，-1， 但按求根公式得到了含有负数平方根的结果，负数的平方根到底是不是“数”，说它是数，其意义是什么，说它不是数，但按数的运算法则计算时，得出的结果是对的，这的确令数学家们非常困惑。
数学家们的努力却未曾停歇。
卡尔丹是第一个正视虚数的，称它为"虚构的"、“超诡辩的量”。
意大利数学家蓬贝利第一个理直气壮地承认虚数。
1632年，笛卡尔首先把“虚构的根”改称为“虚数”，与“实数”相对应，他还给出了如今意义下的“复数”的名字。
维塞尔建立了复平面的概念，复数a+bi可以用一个几何线段表示，从而推出了复数的几何表示，高斯在使人们接受复数方面做了极为有效的工作，他在代数基本定理的证明中都用了复数，并假定了直角坐标上的点与复数一一对应，这必须依赖于对复数的承认，相应地巩固了复数的地位。后来，汉密尔顿又定义了复数的四则运算。
复数的引进彻底解决了代数方程的根的个数问题，引起了著名的代数基本定理，复数引入分析之后，产生了新的学科——复变函数。
