P36-P41方差

方差

\sigma^2 = \frac {\sum (X-u)^2}{N} 其中 u = E(X)

  • 随机变量X的数学期望EX,称
    X-EX为随机变量X的离差
    E(X-EX)^2是 X的方差，记作 DX或者VarX 即离差平方的数学期望
    \sqrt{DX}为X的标准差(均方差)

  • X是离散型的 概率函数为 P\{X=x_k\}=p_k (k=1,2,...)则
    DX = \sum _k (x_k -EX)^2p_k

  • X是连续型随机变量 且 密度函数f(x)，则
    DX = \int _{- \infty}^{+ \infty}(x - EX)^2f(x)dx

方差计算公式

  • DX=EX^2 - (EX)^2

方差的性质

  • 随机变量X Y相互独立
    D(X+Y) = DX +DY
  • 推广 X_1,X_2,...,X_n相互独立
    D(X_1+X_2+...+X_n)=DX_1+DX_2+...+DX_n

X的标准化随机变量

X^* = \frac {X-EX}{\sqrt{DX}}
则 EX^* = 0 ,DX^* = 1

常见的离散型数学期望，方差

常见期望方差.png

协方差

Cov(X,Y) = E[(X-EX)(Y-EY)]

  • 特例
    Cov(X,X)=DX

协方差矩

协方差矩.png
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