近世代数理论基础11：陪集分解

陪集分解

等价关系

设G是群,H是G的子群,在G上定义关系 $R_H=\{(a,b)|a,b\in G,b^{-1}a\in H\}$ ,则 $R_H$ 为集合G上的等价关系

注：

1. $\forall a\in G$ , $a^{-1}a=e\in H$ ,故 $(a,a)\in R_H$

2.若 $(a,b)\in H$ ,则 $b^{-1}a\in H$ ,故 $(b^{-1}a)^{-1}=a^{-1}b\in H$ ,即 $(b,a)\in H$

3.若 $(a,b)\in H,(b,c)\in H$ ,则 $h_1=b^{-1}a\in H,h_2=c^{-1}b\in H$ ,故 $c^{-1}a=(c^{-a}b)(b^{-1}a)=h_2h_1\in H$ ,即 $(a,c)\in H$

左陪集

定义：设G是群, $H\le G$ , $\forall a\in G$ ,集合 $aH=\{ah|h\in H\}$ 称为a关于H的左陪集

例：

1.设 $G=S_3=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\}$ , $H=\{(1),(12)\}$ 是 $S_3$ 的子群,则 $S_3$ 关于子群H的所有左陪集为

$(1)H=\{(1)(1),(1)(12)\}$

$=\{(1),(12)\}=(12)H$

$(13)H=\{(13)(1),(13)(12)\}$

$=\{(13),(123)\}=(123)H$

$(23)H=\{(23)(1),(23)(23)\}$

$=\{(23),(132)\}=(132)H$

3. $H=\{[0],[4],[8]\}$ 是 $(Z/12Z,+)$ 的子群

$Z/12Z=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]\}$

所有陪集为

$[0]+H=\{[0],[4],[8]\}$

$=[4]+H=[8]+H$

$[1]+H=\{[1]+[0],[1]+[4],[1]+[8]\}$

$=\{[1],[5],[9]\}=[5]+H=[9]+H$

$[2]+H=\{[2]+[0],[2]+[4],[2]+[8]\}$

$=\{[2],[6],[10]\}=[6]+H=[10]+H$

$[3]+H=\{[3]+[0],[3]+[4],[3]+[8]\}$

$=\{[3],[7],[11]\}=[7]+H=[11]+H$

4.令 $(G,\cdot)=(Z,+)$ ,设 $m\gt 0,m\in Z$ , $H=mZ=\{mk|k\in Z\}$

Z关于H的陪集为

$0+H=\{0+mk|k\in Z\}=[0]$

$1+H=\{1+mk|k\in Z\}=[1]$

$\cdots$

$(m-1)+H=\{m-1+mk|k\in Z\}=[m-1]$

故所有左陪集的集合为 $Z/mZ=\{[0],[1],\cdots,[m-1]\}$

等价类

设G为群, $H\le G$ , $R_H$ 为等价关系, $\forall a\in G$ ,a的等价类为 $[a]=\{b\in G|(a,b)\in R_H\}$

定理：设G是群, $H\le G$ ,则 $\forall a\in G$ ,有 $[a]=aH$

证明：

$要证[a]=aH$

$即证[a]与aH相互包含$

$"\subseteq"$

$\forall b\in [a],即(a,b)\in R_H$

$\therefore (b,a)\in R_H$

$由R_H的定义$

$a^{-1}b\in H$

$令h_1=a^{-1}b$

$\therefore b=ah_1\in aH$

$\therefore [a]\subseteq aH$

$"\supseteq"$

$\forall b\in aH,\exists h\in H使得$

$b=ah$

$即a^{-1}b=h\in H$

$即(b,a)\in R_H$

$由等价关系的对称性$

$(a,b)\in R_H$

$\therefore b\in [a]$

$即[a]\supseteq aH$

$\therefore [a]=aH\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设G是群, $H\le G$ ,则

1.G是H在G中的所有左陪集的并

2.H在G中的两个左陪集或相等或不相交

3. $\forall a,b\in G$ , $aH=bH\Leftrightarrow b^{-1}a\in H$

4.若 $|H|\lt \infty$ ,则 $\forall a\in G$ ,有 $|aH|=|H|$

右陪集

定义G上关系 $R'_H=\{(a,b)|ab^{-1}\in H\}$ , $R'_H$ 为G上的等价关系,集合 $Ha=\{ha|h\in H\}$ 称为a关于H的右陪集,Ha等于元a在等价关系 $R'_H$ 下的等价类

定理：设G是群, $H\le G$ ,则

1.G是H在G中的所有右陪集的并

2.H在G中的两个右陪集或相等或不相交

3. $\forall a,b\in G$ , $Ha=Hb\Leftrightarrow ab^{-1}\in H$

4.若 $|H|\lt \infty$ ,则 $\forall a\in G$ ,有 $|Ha|=|H|$

定理：设G是群, $H\le G$ ,则G关于H的左陪集和右陪集的个数要么都是有限且相等,要么都是无限

证明：

$将H的所有左陪集和右陪集的集合分别记成L_H(G)和R_H(G)$

$定义映射\varphi$

$\varphi:L_H(G)\to R_H(G)\\\quad aH\mapsto Ha^{-1}$

$\because aH=bH\Leftrightarrow b^{-1}a\in H$

$\Leftrightarrow b^{-1}(a^{-1})^{-1}\in H$

$\Leftrightarrow Ha^{-1}=Hb^{-1}$

$\therefore \varphi(aH)的定义与左陪集aH中代表元a的选择无关$

$易证\varphi为单射,且为满射$

$\therefore \varphi为一一映射$

$\therefore L_H(G)与R_H(G)要么都是有限集且个数相等,要么都是无限集\qquad\mathcal{Q.E.D}$

指数

定义：子群H关于群G的左陪集(右陪集)的个数称为H在G中的指数,记作 $[G:H]$

子群H关于群G的所有左陪集的集合记作 $G/H=\{aH|a\in G\}$ ,则 $[G/H]=[G:H]$

若G为有限群,则 $|G|=[G:H]|H|$

Lagrange定理

定理：设G为有限群, $H\le G$ ,则 $|H|$ 是 $|G|$ 的因数

推论：设G为有限群, $\forall a\in G$ ,有 $o(a)$ 是 $|G|$ 的因数

例：

1. $G=(Z/mZ)^*=\{[a]|gcd(a,m)=1\}$ ,G上的乘法定义为 $[a]\cdot[b]=[ab]$ ,则 $(G,\cdot)$ 构成群

如m=18时, $Z/18Z$ 中与18互素的剩余类为 $(Z/18Z)^*=\{[1],[5],[7],[11],[13],[17]\}$

Euler定理

集合 $(Z/mZ)^*$ 中元的个数为 $\varphi(m)$ ,其中 $\varphi(\cdot)$ 为欧拉函数, $\forall [a]\in (Z/mZ)^*$ ,即 $gcd(a,m)=1$ ,有 $[a]^{|G|}=[1]$ ,即 $a^{\varphi(n)}\equiv 1(mod\; m)$

2.今天是星期一,则 $2007^{2007^{2007}}$ 天后是星期几

解：

$Z/7Z=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]\}$

$每个整数都在唯一的一个剩余类[a]中$

$求2007^{2007^{2007}}天后是星期几$

$即求2007^{2007^{2007}}在哪个等价类中$

$即求2007^{2007^{2007}}mod\; 7$

$\because 2007\equiv 5(mod\; 7)$

$\therefore 2007^{2007^{2007}}\equiv 5^{2007^{2007}}(mod\; 7)$

$由Euler定理$

$5^{\varphi(7)}=5^6\equiv 1(mod\; 7)$

$由带余除法$

$2007^{2007}=6q+r,0\le r\lt 6$

$则5^{2007^{2007}}=5^{6q+r}\equiv 5^r(mod\; 7)$

$即求2007^{2007}mod\; 6$

$又2007^{2007}\equiv 3^{2007}\equiv 3(mod\; 6)$

$\therefore 2007^{2007^{2007}}\equiv 5^{2007^{2007}}\equiv 5^3\equiv 6(mod\; 7)$

$\therefore 2007^{2007^{2007}}天后是星期日$

定理：设G是群, $H\le K\le G$ ,则 $[G:K][K:H]=[G:H]$ ,且当这三个指数中任两个有限时,第三个也有限

证明：

$所有左陪集的集合G/K=\{a_iK|i\in I,a_i\in G\}$

$K/H=\{b_jH|j\in J,b_j\in K\}$

$下证\{a_ib_jH|i\in I,j\in J\}=G/H$

$先证G=\underset{i\in I}\bigcup \underset{j\in J}\bigcup a_ib_jH$

$\forall i\in I,j\in J,有a_ib_jH\subseteq G$

$\therefore \underset{i\in I}\bigcup \underset{j\in J}\bigcup a_ib_jH\subseteq G$

$又\forall g\in G,\exists !左陪集a_sK使得$

$g\in a_sK$

$令g=a_sk,k\in K$

$由K关于H的陪集分解$

$\exists ! t\in J使k\in b_tH$

$即\exists h\in H使k=b_th$

$\therefore g=a_sb_th\in a_sb_tH\subseteq \underset{i\in I}\bigcup \underset{j\in J}\bigcup a_ib_jH$

$即G\subseteq \underset{i\in I}\bigcup \underset{j\in J}\bigcup a_ib_jH$

$再证a_ib_jH彼此不相交$

$若a_{i_1}b_{j_1}H=a_{i_2}b_{j_2}H$

$则\exists h\in H使a_{i_1}b_{i_1}=a_{i_2}b_{j_2}h$

$\therefore a_{i_2}^{-1}a_{i_1}=b_{j_2}hb_{j_1}^{-1}\in K$

$\therefore a_{i_2}^{-1}a_{i_1}\in K$

$即a_{i_1}K=a_{i_2}K$

$\because G=\underset{i\in K}a_iK是不交的陪集分解$

$\therefore a_{i_1}=a_{i_2}$

$又b_{j_1}=b_{j_2}h$

$\therefore b_{j_2}^{-1}b_{j_1}\in H$

$即b_{j_1}H=b_{j_2}H$

$\therefore b_{j_1}=b_{j_2}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：设H,K都是G的有限子群,令 $HK=\{hk|h\in H,k\in K\}$ ,证明 $|HK|=|H|\cdot |K|/|H\cap K|$

证：

$要证|HK|=|H|\cdot |K|/|H\cap K|$

$即证{|HK|\over |K|}={|H|\over |H\cap K|}$

$易证H\cap K为H的子群$

$令A=\{hK|h\in H\},|A|=s$

$B=\{h(H\cap K)|h\in H\},|B|=t$

$由陪集的性质$

$两个陪集要么重合要么不相交$

$s={|HK|\over |K|},t={|H|\over |H\cap K|}$

$定义映射f$

$f:A\to B\\\quad hK\mapsto h(H\cap K)$

$显然f为满射$

$由陪集相等的条件$

$aH=bH\Leftrightarrow b^{-1}a\in H$

$\forall h_1,h_2\in H$

$h_1H=h_2H\Leftrightarrow h_2^{-1}h_1\in K$

$\Leftrightarrow h_2^{-1}h_1\in H\cap K$

$\Leftrightarrow h_1(H\cap K)=h_2(H\cap K)$

$h_1K=h_2K\Rightarrow h_1(H\cap K)=h_2(H\cap K)$

$\therefore f有良性定义$

$即f的定义与陪集代表元的选择无关$

$\because h_1(H\cap K)=h_2(H\cap K)\Rightarrow h_1K=h_2K$

$\therefore f为单射$

$\therefore f为A到B的一一映射$

$\therefore |A|=|B|$

$即|HK|=|H|\cdot |K|/|H\cap K|$

注：要证两个集合A和B中的元个数相等,即证 $|A|=|B|$ ,只要建立一个从A到B的一一映射即可

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