【5】几何计数

题5.1 如图5.1.1，有_______条线段。

图5.1.1

题5.2 如图5.2.1，有_______个长方形。

图5.2.1

题5.3 如图5.3.1，有_______个正方形。

图5.3.1

题5.4 如图5.4.1，有_______个三角形，有______条线段。

图5.4.1

题5.5 平面上有100条直线，最多有_______个交点，最多把平面划分成_______部分。
解 (1) 设 $n$ 条直线有 $a_n$ 个交点，显然： $a_1=0$ $\tag{5.5.1}$
而且当 $n\ge1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 满足递推关系：
$a_{n+1}=a_n+n$ $\tag{5.5.2}$
$(5.5.2) \Rightarrow$
$a_{100}-a_{99}=99\\ a_{99}-a_{98}=98\\ ...\\ a_{2}-a_{1}=1$
以上各式相加得：
$(a_{100}-a_{99})+(a_{99}-a_{98})+...+(a_2-a_1)\\ =99+98+...2+1=(1+99)\times99/2=4950$
所以， $a_{100}-a_1=4950$ ，即 $a_{100}=4950$ 。

(2) 设平面上的 $n$ 条直线把平面分成 $a_n$ 个部分，则数列 $\{a_n\}$ 满足：
$\tag{5.5.3} a_{n+1}=a_{n}+n+1,n\ge 0$
于是有：
$a_{100}-a_{99}=100\\ a_{99}-a_{98}=99\\ ...\\ a_1-a_0=1$
以上各式相加得： $a_{100}-a_0=1+2+...+99+100=5050$
因为 $a_0=1$ ，所以 $a_{100}=5051$ 。
$\blacksquare$

第(1)问解法2 两条直线一个交点，所以， $n$ 条直线共有 $C_n^2$ 个交点。所以，100条直线的交点数为： $C_{100}^2=\frac{99\times 100}{2}=4950$ 。
$\blacksquare$

题5.6 平面上有100个圆，最多有_______个交点，最多把平面划分成_______部分。
解 (1) 每两个圆最多2个交点，如果任意三个圆不公点的话，交点数最多有 $2C_{100}^2=99\times 100 =9900$
(2) 设 $n$ 个圆把平面分成 $a_n$ 个部分，则： $a_1=2\\a_2=4\\a_3=8\\a_4=14\\...$
发现以下递推关系 $\\a_{2}-a_1=2\\a_3-a_2=4\\...\\a_{n+1}-a_n=2n$
以上式子相加得：
$a_{n+1}-a_1=2(1+2+...+n)\\ =n(n+1)$
即 $a_{n+1}=n(n+1)+2$ ，所以 $a_{100}=99\times 100 +2 =9902$ 。所以100个圆最多把平面划分成9902部分。
$\blacksquare$

【5】几何计数

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