【初中数学思维训练】第1套

本文收录至文集：初中数学思维训练

1、本系列训练专门针对数学水平优异的初中生

2、本系列试题解题思维与解题技巧难度较大

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1、设 $\sqrt{3+\sqrt{2} +\sqrt{3} +\sqrt{6} } =\sqrt{x} +\sqrt{y} +\sqrt{z}$ ，且 $x 、 y 、 z$ 为有理数 . 求 $xyz$ 的值。

2、设二次函数 $f(x)=ax^2 +ax+1$ 的图像开口向下 , 且满足 $f(f(1))=f(3)$ 。求 $2 a$ 的值。

3、方程 $\vert xy \vert +\vert x+y \vert =1$ 有多少组整数解？

4、 $a、b$ 是方程 $x^2 +(m-5)x+7=0$ 的两个根，求 $(a^2 +ma+7)(b^2 +mb+7)$ 的值。

6、从 $1 ,2 , ⋯ ,13$ 中取出 $k$ 个不同的数 ,使这 $k$ 个数中任两个数之差既不等于 5 , 也不等于 8. 求 $k$ 的最大值。

7、若整系数一元二次方程 $x^2 +(a+3)x+2a+3=0$ 有一正根 $x_{1}$ 和一负根 $x_{2}$ ，且 $\vert x_{1} \vert <\vert x_{2} \vert$ ，求 $a$ 的值。

8、已知 $x=\frac{\sqrt{29}-3 }{2}$ ，求 $x^4 +5x^3-3x^2-8x+9$ 的值。

9、给定两组数 , A 组为 : $1 ,2 , ⋯ ,100$ ；B组为 : $1 ^2 ,2^2 , ⋯ ,100^2$ 。对于 A 组中的数 $x$ , 若有 B 组中的数 $y$ , 使 $x + y$ 也是 B 组中的数 ,则称 $x$ 为“关联数” . 那么 , A 组中这样的关联数有多少个？

10、已知 $△ ABC$ 的三边长分别为 $AB=2\sqrt{a^2 +576}$ ， $BC=\sqrt{a^2 +14a+625}$ ， $AC=\sqrt{a^2-14a+625 }$ ，其中 $a>7$ ，求 $△ ABC$ 的面积。

11、解方程： $(12x+5)^2(6x-1)(x+1)=\frac{55}{2}$

12、如图 , 四边形 $ABCD$ 中 , $∠ ACB = ∠ ADB = 90 °$ , 自对角线 $AC 、 BD$ 的交点 $N$ 作 $NM ⊥ AB$ 于点 $M$ , 线段 $AC 、 MD$ 交于点 $E$ , $BD 、 MC$ 交于点 $F$ , $P$ 是线段 $EF$ 上的任意一点 .
证明 : 点 $P$ 到线段 $CD$ 的距离等于点 $P$ 到线段 $MC 、 MD$ 的距离之和

13、矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片 , 每块碎片都是凸多边形 , 将其重新粘合成原矩形后 , 有交结点 30 个 , 其中 20 个点在原矩形的周界上 ( 包括原矩形的四个顶点) ,其余 10 个点在矩形内部 . 在矩形的内部有 45 条粘缝 ( 两个结点之间的线段算是一条粘缝 , 如图所示) .

试求该矩形台板所碎裂成的各种类型( 指三角形、四边形、五边形等 ) 的块数 .
说明 : 若凸多边形的周界上有 n 个点 ,就将其看成 n 边形 , 例如 , 图中的多边形 $ABCDE$ 要看成五边形

【初中数学思维训练】第1套

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