计算机图形学-Viewing变换

view/camera 变换

相机移动到 $(0,0,0)$ ，向前是 $-z$ 轴，向上是 $y$ 轴，对应变换矩阵 $M_{view}=R_{view}T_{view}$ ：

平移到 $(0,0,0)$ ：
$T_{view} = \left( \begin{array}{} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e\\ 0 & 0 & 1 & -z_e\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$
原相机轴分别为 $(g \times t,t, g)$ 旋转，先考虑逆变换，再转换成正变换( $\hat g$ 和 $\hat t$ 表示单位向量)：
$R_{view}^{-1} = \left( \begin{array}{} x_{\hat g^ \times \hat t} & x_t & x_{-g} & 0 \\ y_{\hat g^ \times \hat t} & y_t & y_{-g} & 0 \\ z_{\hat g^ \times \hat t} & z_t & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \rightarrow R_{view} = (R_{view}^{-1})^T = \left( \begin{array}{} x_{\hat g^ \times \hat t} & y_{\hat g^ \times \hat t} & z_{\hat g^ \times \hat t} & 0 \\ x_t & y_t & z_t & 0 \\ x_{-g} & y_{-g}& z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Projection(投影)变换

Orthographic protection(正交投影)

将物体全部转换到一个 $[-1, 1]^3$ 的空间上( $z$ 轴反向)：
$M_{ortho} = \left[ \begin{array}{} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]$

正交投影变换

Perspective protection(透视投影)

从透视投影到标准化 $[-1,1]^3$ 空间上。分两步：

透视投影 $\rightarrow$ 正交投影， $n$ 是近平面距离， $f$ 是远平面距离：
$M_{presp \rightarrow ortho} = \left( \begin{array}{} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$
正交投影 $\rightarrow [-1,1]^3$ ，上面已经计算过