预览：库特尔哥德通过他的发现震惊了全世界，即没人能列出一张包括所有算术规则的清单。
思考：尽管哥德尔明确了，没人可以写下一本包含所有算术规则的书，但后来还是构造了关于算术的逻辑系统结构，在其中，每个系统可以填充子系统中的很多空缺。在证明理论中，不同系统的逻辑一致性被相互比较，然而以往的数学家尝试，在这个系统的哪个位置可以把经典的数学结论安插其中，这是会遇到这样的问题，我们到底需要哪些最基础的假设和前提来证明一个给定的命题。
全文：算术构成了数学的核心板块，自然数的系统通过最熟悉的方式来组合相连，即加减乘除。十九世纪后期，数学的基本规则进入到大家焦点中前，数学家们以及关于这个系统讨论了上千年。数学家们尝试的是找到一份包括基础算术规则的清单，从中可以推导出所有建立在之上的定理。历史上发布过一系列相互竞争的规则清单，最早的伯特兰罗素和阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德合著的《数学原理》，这本书中他们第一次展出一份最基本的假设。然而1931年，库尔特哥德尔证明了这样的努力是白费。不能写出所有规则的清单已经被证明是不可能。每次尝试都必定是不完整的，因为总会存在一个被忽略的关于自然数的说法。与这个说法是否正确无关，这个说法并不能通过已经给出的规则中推导出来。我们当然可以继续扩充这些规则，把这个说法作为新规则接纳进来，然而理论中总会存在另外的空缺，哥德尔定理告诉了人们，永远不要希望，有朝一日能补上所有的空缺。
