1.谈到数论我们都在谈什么？
1.1 自然数、整数与数论
1.1.1 怎么认识自然数
在漫长的人类文明建立过程中，人类经过不断地探索，终于建立起了“数”的概念。在计数的过程中，人们把用来表示物体个数的数0、1、2、3、4、5……称为“自然数”。为什么用“自然”这个词来给数进行命名，我没有查到具体的资料；但是我想大概是因为它们都是自然而然产生的吧。
在给学生们讲数的概念的时候，我很喜欢讲这样一个小段子来帮助大家理解到底什么是自然数：自然数这个概念很容易理解，你去动物园看猴子凡是猴儿能理解的数，就都是自然数。有同学可能不太理解什么叫猴子能理解的数，其实很简单举个例子讲一讲：
刘老师手上拿着一个大苹果去动物园看猴子，看到猴子之后，“duang”，把苹果扔向猴子，这个时候猴子会很开心，它心里的想法可能会是“哦吼？有个傻子给我扔了个苹果！”；再继续，刘老师第二次去看猴子，“duang duang”，拿了两个苹果去扔猴子，这个时候猴子可能会更开心了，它会想“哦吼？有个傻子给我扔了两个苹果！”；再继续，刘老师第三次去看猴子，这次拿得比较多拿了3000个苹果去扔猴子，这个时候我估计猴子会乐晕过去，痛并快乐着“哦吼？这个傻子给我扔了好多好多苹果！”
从上面的小段子，我们其实可以看出来对于猴儿来说自然数有两个用处：在苹果数量非常少的时候，可以用明确的数字来进行计数；但是在苹果的数量增加到猴子数不清的时候，猴子会用“很多”这个概念只来衡量多少，而不再进行精确计数；和猴子一样我们人类也是这样开始认识数的，先从最简单的1、2、3、……开始，逐步增加我们认识数的范围，而这种认识都是通过加法叠加来进行的，因此我会认为“自然数”中的“自然”也有“自然增加”的意思；通过这种“自然增加”我们虽然可能不会对一些大数进行读写，但是我们其实能够理解它的含义。
1.1.2 小数与分数是不是自然数
看了刚才那个小段子，会有同学跟我抬杠：刘老师按你说的，那是不是小数和分数也是自然数？答案当然是否定的，我们还是回到刚刚的那个小段子里去：刘老师第四次去看猴子，这次刘老师就会更欠了：我把一个苹果用刀平均切成了两半，然后“duang duang”两下把这两瓣苹果分别砸到猴子的脑袋上，这个时候你想想捡到苹果的傻猴子它的想法会是“哦吼？这两瓣苹果能拼成一个耶！”还是“哦吼？我现在有两个能吃的东西了？”我相信以大家的聪明才智，你一定会跟我一样认为答案是后者对不对？所以从这个角度来进行分析，我们能够知道分数（二分之一）和小数（0.5）其实都是猴子理解不了的数，都不是自然界中“自然”产生的数而是人类为了计算发明出来的；因此分数和小数不能算入“自然数”。
1.1.3 0是不是自然数
按照刚才小段子里的讲法“自然数”应该是猴子能理解的数，但是“自然数”里有一个数很特殊——0；这个数是猴子无法理解的。我们还是回到刚刚的小段子里去，刘老师第五次来到动物园这次没带苹果，而动物园里的猴子呢也吃饱了，正躺在大树下面晒太阳呢。各位同学请你来想一想，在猴子吃饱喝足晒太阳的情况下，这个猴子是会想“我的手里没有吃的东西”还是“我的手里有0个大苹果”呢？
很可惜亲爱的，这两个答案其实都是不对的。我们可以拿我们自己作为例子来想一想：在我们吃饱喝足之后陪爸爸妈妈出门逛街的时候，我们是会想“我今天手上拿了0个包子”还是“我手上没有端着面条”呢？其实我们两个都不会想对不对？换句话说就是：我们在没有计数需要的情况下是很难体会到“无”这个概念的。所以从这个角度来进行思考，0这个数并不是“自然产生的”且是我们不容易意识到的一个数，所以它好像不应该被归入“自然数”的行列。
而且很多同学的爸爸妈妈或者是一些年纪很大的老老师们在这个地方也常常会告诉我们说“0不是自然数”。他们这么说其实也是有一定道理的：因为很有可能在他们上学的时候，他们学到的确实是“0不是自然数”。但是因为0在实际计数的过程中确实有特殊的意义，且在基本的四则运算中都能按照自然数的计算法则进行正常计算，因此我国在1993年重新修订《国家标准》的时候，将0归入“自然数”的行列了哦。所以请同学们记住，在你现在学习的这个阶段0确确实实是“自然数”了！
1.1.4 自然数集合N，自然数集合N的性质以及整数
按照一般惯例，我们用N（nature）来代表所有自然数所成的集合：N={0,1,2,3,4,5,6，……}
从直观上看，自然数无穷无尽地延续着，自然数集合N有下列性质：
（1）0是最小的自然数，以0开始，但却没有结束，没有最后一个自然数；
（2）每个自然数n后面都跟着下一个自然数n+1。
由自然数为开端，随着对数学领域地不断研究与扩充，非零自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0；而正整数、负整数与0合起来就叫做“整数”，数学中用字母Z（德语：Zahlen）来表示。
1.1.5 基础的四则运算与初等数论的由来
同学们在小学的学习过程中，肯定都学过最基础的四则运算：加、减、乘、除；而且同学们也都知道：通过对整数进行加、减、乘、除四则运算都是可以产生新的数的。但是不知道同学们有没有注意过：只有加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，随便两个或者两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，他们的和、差、积仍然是一个整数。
但是这种规律在除法中似乎不再能够像在前面三种运算中一样能够毫无阻碍地进行了，换句话说：两个整数相除的结果不一定是整数。正是因为有了这种特殊情况的存在，才使得先贤们开始思考这样一个问题：究竟在什么情况下两个整数相除的结果仍然是整数呢？为了寻求这其中的规律，古希腊时的数学家们对这个问题做出了系统的研究，从而发展成一门专门研究整数性质、脱离了算术而独立存在的一个数学分支——整数论，又叫初等数论。这门学科曾被高斯称为“数学的王后”。
