高斯单位制（其一）

厘米-克-秒制（CGS制）

centimeter-gram-second system以下都简称CGS制。在力学单位上，CGS是一致的，但是在电学单位上有几种变种。本文对此并不感兴趣，只考虑其中的高斯单位制。

厘米-克-秒制一些导出单位

摘抄自wiki

物理量	符号	单位	定义	SI单位制
速度	$v$	厘米/秒(cm/s)	1 cm/s	= 10^-2米/秒
加速度	$a$	伽(gal)	1 cm/s²	= 10^-2米/秒
力	$F$	达因(dyne)	1 dyn = 1 g $\cdot$ cm²/s²	= 10^-5牛顿(N)
能量	$E$	尔格(erg)	1 erg = 1 g $\cdot$ cm²/s²	= 10^-7焦耳(J)
功率	$P$	尔格/秒(erg/s)	1 erg/s = 1 g $\cdot$ cm²/s³	= 10^-7瓦特(W)
压力	$p$	巴(Bar)	1 Bar = 10⁶dyn/cm²=10⁶g/(cm $\cdot$ s²)	= 10^-5帕(Pa)
粘度	$\mu$	泊(P)	1 P = 1 g/(cm $\cdot$ s)	= 10^-1帕-秒(Pa $\cdot$ s)
动粘度	$v$	斯托克(St)	1 St = 1 cm²/s	= 10^-4米/秒
波数	$k$	凯塞(kayser)	1 kayser = cm^-1	= 100 米^-1

高斯单位制

电荷的单位

在高斯单位制里，直接定义库伦定律为
$F = \dfrac{Q_1 Q_2}{r^2} \label{eq:Coulomb-law}$
高斯单位制源于CGS制，因此上式中，力的单位为达因(dyne)，距离的单位为厘米。现在定义电荷的单位为statC，可以写成力学单位的组合
$1 \mathrm{statC} = 1 g^{1/2}cm^{3/2}s^{-1} \label{eq:statC}$

静电场

接下来是一些基本电磁学单位的推导。有了电荷，就可以定义电流和电压了。电流的方程还是一样 $I = \Delta Q/\Delta t$ ，单位是 statC/s^-1. 电压（电势）则是根据库伦定律
$\phi = \dfrac{Q}{r} \label{eq:phi}$
电势的单位名称为 statV，1 statV = 1 statC/cm.

接下来是电场强度，库伦定律
$E = \dfrac{Q}{r^2} \label{eq:E-Coulomb-law}$
于是电场单位为 statV/cm. 现在就可以搞静电学了。首先是静电场的高斯定律
$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = 4\pi\sum Q_i = 4\pi\int_V \rho dV.$
这里开始有 $4\pi$ 了，请回想一下高斯定理的推导，这个还是很容易的。微分形式就是
$\nabla \vec{E} = 4\pi \rho$
当然，静电场旋度为零这个关系还是成立的
$\nabla\times \vec{E} = 0$
在CGS制里，这里的电荷密度单位当然就是 statC/cm³. 顺带一提，电荷守恒定律为
$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \vec{j} = 0$
电流密度矢量的单位，自不必多言。

你也可以试着推导一下电阻，电容之类的，不过本文的目的还是为了确定电磁场公式，这些就不全部给出了。

静磁场

对于静磁场，其出发点是毕奥-萨伐尔定律
$d\vec{F} = k_m\dfrac{I_1 I_2 d\vec{l}_2 \times (d\vec{l}_1\times \vec{r}_{12})}{r^3_{12}} \label{eq:biot-savart-law}$
不过，前面定义了电荷，电流，长度量纲也是已定义的，所以上式中的常数 $k_m$ 是无法定义为1的。不过，实际上我们知道，在国际单位制中，通过麦克斯韦方程组解出，静电常量 $k_e$ (高斯单位制中，定义为1)和静磁常量 $k_m$ 的关系是
$\dfrac{k_e}{k_m} = c^2 \label{eq:ke-km}$
光速是自然界的常数，自然在任何单位制下都是成立的的。因此， $k_m$ 的值为
$k_m = \dfrac{1}{c^2} \label{eq:km-c2}$
这么说有点像拿未知的推导已知的，不过我们当然可以先不求出 $k_m$ 的值，直接推导出麦克斯韦方程组，然后再确定 $k_m$ 的值。或者我们也可以直接重新定义 $k_m$ 为 $1/c^2$ ，并且把 $c$ 看成一个未知的常数，之后再确定 $c$ 。总之，最终目的是得到没有歧义的高斯单位制下的电磁场方程。不管怎样， $c$ 具有速度的量纲。

对于毕奥-萨伐尔定律，可以拆解为两部分：安培力公式
$d\vec{F} = I d\vec{l}\times \dfrac{1}{c} \vec{B}$
和电流元产生的磁感应强度公式
$d\vec{B} = \dfrac{1}{c} \dfrac{I d\vec{l}\times \vec{r}}{r^3} \label{eq:B-biot-savart-law}$
在这个拆解下，磁感应强度具有和电场强度相同的量纲。不过还是另外定义了磁感应强度的单位为 gauss，并且有关系 gauss = statV/cm = cm^-1/2g^1/2s^-1，但是 1 gauss 并不等于 1 statV/cm，因为磁感应强度显然不能等于电场强度。(所以说还是国际单位制清晰明了。)

虽然历史上1gauss 的定义最初是在电磁单位制下的，不过，在高斯单位制下，1gauss 可以定义为：根据电流元产生的磁感应强度公式，电流为 $I$ 无限长直导线在距离为 $a$ 处产生的磁感应强度大小为
$B = \dfrac{2I}{c a}$
如果 $I = 29979245800\mathrm{statC/s}, a = 1\mathrm{cm}$ ，(注意光速应该为CGS单位制，也就是 $c = 29979245800\mathrm{cm/s}$ )，则有 $B = 2\mathrm{gauss}$ ，并且有1 gauss = 10^-4T.

现在我们可以做静磁学了，导线产生的磁感应强度为
$\vec{B}(\vec{r}) = \dfrac{1}{c}\int_L \dfrac{I d\vec{l}\times (\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}$
对于具有体积的导体，则应该是
$\vec{B}(\vec{r}) = \dfrac{1}{c}\int_V\dfrac{\vec{j}(\vec{r}')\times(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}dV'$
于是磁矢势就是(根据 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ 的关系)
$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{c}\int_V\dfrac{\vec{j}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}dV'$
根据上式，可以证明
$\nabla \cdot \vec{A} = 0 \qquad \nabla^2\vec{A} = -\dfrac{4\pi}{c}\vec{j}$
从而可以得到
$\nabla \times \vec{B} = \dfrac{4\pi}{c} \vec{j}$
由 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ 可得
$\nabla \cdot \vec{B} = 0$