第一讲预备知识

这一讲有三个部分的内容

第一部分

第一个部分是函数的概念与特性，这个部分的重点是函数的特性（ $\color{red}{重要等级一颗星}$ ）：有界性、单调性、奇偶性和周期性，其中的重要结论是考研重点

函数：每个x只能有唯一的一个y与之对应
反函数：严格单调的函数必然有反函数；函数 $x=f^{-1}(y)$ 与 $y=f(x)$ 的函数图像是完全一致的，而函数 $y=f^{-1}(x)$ 与 $y=f(x)$ 的函数图像是关于直线y=x对称的
复合函数需要注意函数复合的方法（考点）

例题1：设 $f(x)=x^2,f(\phi(x))=-x^2+2x+3$ ，且 $\phi(x)\ge 0$ ，求 $\phi(x)$ 及其定义域和值域。
$f(\phi(x)) = \phi(x)^2 = -x^2+2x+3$
由于 $\phi(x)\ge 0$ ，所以 $\phi(x)=\sqrt{-x^2+2x+3}$
由不等式 $-x^2+2x+3 \ge 0$ 得到x的定义域[-1,3]，继而得到值域[0,2]

例题2：求函数 $y=f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 的表达式以及其定义域
先对f(x)求导： $f(x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$
导数严格大于零，f(x)严格单调递增，所以必然有反函数
$e^y=x+\sqrt{x^2+1}$
$-y=-ln(x+\sqrt{x^2+1}) = \ln(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) = ln(\sqrt{x^2+1}-x)$
$e^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x$
$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$
所以反函数， $y^{-1}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

例题3：将下例各组函数 $f(x)$ 和 $\phi(x)$ 复合，求复合函数 $f[\phi(x)]$
(1) $f(x)=\begin{cases}2-x,x \le 0 \\x+2,x\gt 0\end{cases},\phi(x)=\begin{cases}x^2,x\lt 0\\-x,x\ge 0\end{cases}$
第一步：广义化
$f[\phi(x)]=\begin{cases}2-\phi(x),\phi(x)\le 0\\\phi(x)+2,\phi(x)\gt 0\end{cases}$
第二步：画图
画出 $\phi(x)$ 的函数图像
第三步：根据函数的取值情况代入原式写答案
$f[\phi(x)]=\begin{cases}2+x,x\ge 0\\x^2+2,x\lt 0\end{cases}$
(2)设 $f(x)=\begin{cases}\ln\sqrt{x},x\ge 1\\2x-1,x\lt 1\end{cases}$ 求f[f(x)]
第一步：广义化
$f[f(x)]=\begin{cases}\ln\sqrt{f(x)},f(x)\ge 1\\2f(x)-1,f(x)\lt 1\end{cases}$
第二步：画图
画出 $f(x)$ 的函数图像
第三步：根据函数的取值情况代入原式写答案
$f[f(x)]=\begin{cases}\ln\sqrt{\frac{1}{2}\ln(x)},x\ge e^2\\\ln x-1,1\le x\lt e^2\\4x-3,x\lt 1\end{cases}$

重要结论（ $\color{red}{重要等级三颗星}$ ）：

若f(x)是可导偶函数，则f'(x)是奇函数
若f(x)是可到奇函数，则f'(x)是偶函数
若f(x)是周期为T的周期函数，则f'(x)也是周期为T的周期函数
连续的奇函数的一切原函数都是偶函数
连续偶函数的原函数中只有一个原函数是奇函数
若连续函数f(x)以T为周期且 $\int_0^Tf(x)dx=0$ ，则f(x)的一切原函数也以T为周期
若f(x)在有限区间(a,b)内可导且f'(x)有界，则f(x)在(a,b)内有界

研究最值：( $\color{red}{重要等级一颗星}$ )

研究 $\sqrt{u},\sqrt[3]{u}$ 的最值时，可以直接研究u的最值
研究|u|的最值时，可以直接研究 $u^2$ 的最值
研究 $\frac{1}{u}$ 的最值时，可以反向研究u的最值
研究 $u=u_1\cdot u_2\cdot u_3\cdots u_n$ 的最值时，可以直接研究 $\ln u=\Sigma_{i=1}^n \ln u_i$ 的最值

幂指函数( $\color{red}{重要等级一颗星}$ )，幂指函数的唯一解法： $u^v=e^{\ln u^v}=e^{v\ln u}$

第二部分

第二个部分是函数图像（ $\color{red}{重要等级三颗星}$ ）

直角坐标系下的函数图像(f(x,y)=0)，基本初等函数就是反对幂指三加一个常数函数
极坐标下的函数图像(g(r,θ)=0)，极坐标下的函数图像画法有两种：用描点法画常见图像（其中的心形线需要注意）；用直角坐标系观点画极坐标下的图像。
参数方程 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}$ ，比较重要的两种图像画法：摆线以及星形线，这是两个比较常考的内容

在直角坐标系中常考的考点是函数图形的变换：

平移变换：y=f(x+a)，y=f(x)图形向左平移a个单位；y=f(x)+b，y=f(x)的图形向上平移b个单位
对称变换：y=f(x)与y=f(-x)的函数图形关于y轴对称；y=f(x)与y=-f(x)的函数图形关于x对称；y=f(x)与y=-f(-x)的函数图形关于原点对称；y=f(x)与y= $f^{-1}(x)$ 的函数图形关于直线y=x对称
伸缩变换：y=f(x)变成y=f(kx)，横坐标变为到原来的 $\frac{1}{k}$ 倍，而纵坐标不变；y=f(x)变成y=kf(x)，横坐标不变，而纵坐标变为原来的k倍

在极坐标系中常考的是几个函数图形：
1.心形线：r = a(1-cos θ) (a>0)

心形线

2.玫瑰线：r=asin 3θ (a>0)

三叶玫瑰线

3.阿基米德螺线：r=aθ

阿基米德螺线

4.伯努利双纽线：设线段AB的长度为2a，动点M满足MAMB = ，那么M的运动轨迹就是伯努利双纽线，其极坐标下的方程式为：
或者

在参数方程坐标系中常考的图形就只有两种：
1.摆线：当一个圆沿一条定直线作无滑动滚动时，动圆圆周上的一个顶点的轨迹叫做摆线，现在把这个圆放在x轴上，设其半径为r，定点旋转过的角度为t，定点A的坐标为(x,y)，则x=rt-rsint,y=r-rcost，得A运动轨迹得参数方程为:
$\begin{cases}x=r(t-\sin t)\\y=r(1-\cos t)\end{cases}$

平摆线

2.星形线：一个小圆在一个大圆内部做纯滚动，如果大圆半径是小圆半径的4倍，那么小圆圆周上的任意一点的运动轨迹称为星形线，其参数方程为：

消除t后的直角坐标方程为：

星形线

第三部分

第三个部分是一些常用的基础知识（高中基本都学过，但是需要能够灵活运用）
数列求和：

等差： $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$
等比： $S_n=\begin{cases}na_1,r=0.\\\frac{a_1(1-r^n)}{1-r},r\ne 1.\end{cases}$
常见题型：若 $a_1=r<1$ ， $\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}=\frac{1}{1-r}$
一些常见数列前n项和：
$\Sigma_{k=1}^n=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
$\Sigma_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\Sigma_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+\cdots+\frac{1}{n*(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

三角函数基本关系：
$\csc a=\frac{1}{\sin a},\sec a=\frac{1}{\cos a},\cot a=\frac{1}{\tan a},$
$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a},\cot a=\frac{\cos a}{\sin a},$
$\sin^2a+\cos^2a=1,1+\tan^2a=\sec^2a,1+\cot^2a=\csc^2a$
诱导公式：
$\sin (\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=\cos \alpha$
$\cos (\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$
$\sin(\pi\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$
$\cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha$
倍角公式：
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
半角公式（降幂公式）：
$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos\alpha)$
$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\alpha)$
和差公式：
$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\alpha\pm\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$
对数运算法则：
$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$
$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$
$\log_aM^n=n\log_aM$
$\color{red}{多项乘、除、乘方、开方，可以先取对数化简再运算}$
因式分解公式：
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
阶乘与双阶乘：
$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ ，规定0!=1
$2n!!=2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n=2^n\cdot n!$
$(2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)$
常用不等式： $\color{red}{重要等级无穷颗星}$