圆周运动by 胡庭硕

圆周运动的“角量度”描述

可能用到的符号

$\omega$ 、 $\alpha$ 、 $\beta$
对应代码

$\omega$、$\alpha$、$\beta$

知识点

1.圆周运动可用标量，不需要用矢量

给定一个圆心，只有顺时针转动和逆时针转动之分
可用正负来标记转动方向（即规定顺时针转动为“-”，逆时针转动为“+”）

2.位置： $\theta$

约定逆时针转动为正，且起点为参考轴正方向（x轴的正方向）
- 请思考， $\theta=\pi$ 代表运动到哪里了？
- 若 $\theta=-\frac{\pi}{3}$ ,运动到了哪里？
- $\theta=\frac{4}{3}\pi$ 与 $\theta =-\frac{2}{3}\pi$ 是表示不同的位置吗？
- $\theta=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$ 表达的是什么样的运动？

解：1.x轴负半轴
2.x正半轴与第四象限夹角 $\theta=-\frac{\pi}{3}$ 3.一样
4. $\theta=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$ 表示初始位置在 $\theta=\frac{\pi}{2}$ ,以角速度 $\omega=\frac{\pi}{10}$ （逆时针方向）运动的匀速圆周运动。

3.角速度: $\omega$

角速度即为转速，表征转动的快慢。
比较：
- $\theta(t_1)=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$
- $\theta(t_2)=\frac{\pi}{9}t+\frac{\pi}{2}$
  $\theta(t_1)$ , $\theta(t_2)$ 表示的两物体的转动初始位置相同，而角速度即为自变量 $t$ 前的系数，故从
  直观角度上来看， $\theta(t_1)$ 相对 $\theta(t_2)$ 转动得要慢一些。
角速度表达式 $\omega=\frac{d\theta}{dt}$ (即 $\omega$ 为 $\theta$ 对时间 $t$ 的一阶导数)
4.角加速度: $\alpha$ (or $\beta$ )
表征角速度变化的快慢
- $\theta(t_1)=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$
- $\theta(t_2)=\frac{\pi}{9}t^2+\frac{\pi}{2}$
解：角加速度 $\alpha$ 为 $角速度\omega$ 对时间 $t$ 的一阶导数
$\omega(t_1)=\frac{\pi}{10}$ $\omega(t_2)=\frac{\pi}{9}t$
$\alpha(t_1)=0$ $\alpha=\frac{\pi}{9}$
由此可见， $\theta(t_1)$ 在做角速度恒定的圆周运动（即匀速圆周运动）， $\theta(t_2)$ 在做角速
度不断增大的圆周运动（即越转越快）
角加速度表达式 $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$ (即 $\alpha$ 为 $\omega$ 对时间 $t$ 的一阶导数,为 $\theta$ 对时间 $t$ 的二阶导数)

例题：

请用以上工具分析圆周运动： $\theta(t)=4t^2+4t-\frac{\pi}{3}$ .
$\theta_0=-\frac{\pi}{3}$
$\omega(t)=8t+4$
$\alpha(t)=8$
所以，物体的初始运动位置在 $\theta_0=-\frac{\pi}{3}$ 处，以初始角速度 $\omega_0=4$ （逆时针），角加速
度 $\alpha=8$ 做圆周运动。

习题：

请写出一个圆周运动，使得它：初始位置在 $\frac{\pi}{3}$ ,初始角速度为 $10$ (逆时针)，角加速度为 $2$ (逆时针)(顺时针)。

解：
$\theta_0=\frac{\pi}{3}$
$\omega(t)=2t+10$
$\alpha(t)=2$ （ $\alpha(t)=-2$ ）
则 $\theta(t)=t^2+10t+\frac{\pi}{3}$ （ $\theta(t)=-t^2+10t+\frac{\pi}{3}$ ）