第一章样本空间与概率

概率模型

每一个概率模型都关联着一个试验，这个试验将产生一个试验结果，该试验的所有可能结果形成样本空间。其中某些试验结果的集合被称为事件。

概率模型包括了离散模型和连续模型。

概率律

在概率模型中确定了某些结果或某些结果的集合（事件）的似然程度。

概率三公理

非负性
可加性
归一化

概率律的性质

a. 若 $A \subset B$ , 则 $P(A)\leq P(B)$
b. $P(A\bigcup B) = P(A) + P(B) - P(A\bigcap B)$
c. $P(A\bigcup B) \leq P(A) + P(B)$
d. $P(A\bigcup B \bigcup C) = P(A) + P(A^c \bigcap B) + P(A^C \bigcap B^C \bigcap C)$

条件概率

$P（A|B）=\frac{P(A\bigcap B)}{P(B)}$
条件概率是一个概率律，因此也满足概率三公理。

全概率定理

设 $A_1, A_2, \dots,A_n$ 是一组互不相容的事件，形成样本空间的一个分割（每一个试验结果必定使得其中一个事件发生）。又假定对每一个 $i$ , $P(A_i)>0$ .则下列公式成立
$\begin{align} P(B) = P(A_1\bigcap B)+\dots+P(A_n\bigcap B) = P(A_1)P(B|A_1)+\dots+P(A_n)P(B|A_n) \end{align}$

贝叶斯准则

设 $A_1, A_2, \dots,A_n$ 是一组互不相容的事件，形成样本空间的一个分割（每一个试验结果必定使得其中一个事件发生）。又假定对每一个 $i$ , $P(A_i)>0$ .则对于任何事件 $B$ , 只要它满足 $P(B) > 0$ , 下列公式成立
$\begin{align} P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)} = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(A_1)P(B|A_1)+\dots+P(A_n)P(B|A_n)} \end{align}$

独立性

$P(A\bigcap B）= P(A)P(B)$
若两个事件互不相容，就可以判定它们互相独立。若事件A和事件B互相独立，那么B发生，不会对A发生与否提供任何信息。

条件独立

计数法

n个对象的排列： $n!$
n个对象中取k个对象的排列数： $\frac{n!}{(n-k)!}$
n个对象中取k个对象的组合数： $\tbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
n个对象分成r个组的分割数，其中第i个组具有 $n_i$ 个对象： $\tbinom{n}{n_1,n_2,\dots,n_r}=\frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_r!}$

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第一章 样本空间与概率