于是，构建能解决12x+x10–sinx等任意曲线y(x)的反向问题的方法，就变成了微积分的圣杯。更准确地说，它是积分学的圣杯。一旦解决了反向问题，就可以彻底解决面积问题。换言之，已知任意曲线y(x)，我们可以算出曲线下方的面积A(x)；而通过解决反向问题，我们也可以解决面积问题。这就是我为什么说这两个问题是一出生即被分开的双胞胎，或者同一枚硬币的两面。
反向问题的解决方案还会产生更大的影响，原因如下：根据阿基米德的观点，面积是无穷多个无穷小的矩形条之和。因此，面积是一个积分，它是所有碎片重新拼凑起来的整体，是无穷小变化的累积。就像导数比斜率重要一样，积分也比面积重要。我们将在后面的章节中看到，面积对几何学而言至关重要，而积分对一切来说都至关重要。
处理棘手的反向问题的方法之一是无视它，把它搁在一边，并用更简单的正向问题（已知A，计算它的变化率dA/dx；根据基本定理，我们知道这个变化率一定等于我们正在寻找的y）取代它。相比反向问题，正向问题要容易得多，因为我们知道该从哪里着手去解决它。我们可以从已知的面积函数A(x)入手，然后运用标准导数公式计算它的变化率。由此得出的变化率dA/dx一定扮演着函数y的角色，因为基本定理向我们保证dA/dx=y。至此，我们就有了一对搭档函数A(x)和y(x)，它们分别代表面积函数及其关联曲线。我们希望，如果有幸遇到需要我们计算特定曲线y(x)下方面积的问题，它对应的面积函数就是它的搭档A(x)。尽管这不是一种系统性方法，而且只在我们运气好的时候起作用，但它至少是一个容易的开端。为了增加成功的概率，我们的第一项任务是制作一张大查询表，以[A(x),y(x)]对的形式列出几百个面积函数及其关联曲线。那么，基于这张表的规模和多样性，我们找到解决真正的面积问题所需的搭档函数的概率将大幅增加。一旦找到那对必需的函数，我们就无须做进一步的工作了，因为答案就在那张表里。
