3. 分散性与变异性
- 全距：
也叫极差，用于度量数据集分散程度最简单的一种方法。测量数据的扩展范围、宽度。
计算方法：全距 = 上界（最大值） - 下界（最小值）
缺点：全距仅仅描述了数据的宽度，并没有描述数据在上、下界之间的分布情况。当最大值和最小值有异常值时，全距就极具误导性。
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原本1-5之间的数，全距为4；上界只添加了一个10，全距就变成9。
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四分位数：
将整批数据一分为四，最小的四分位数称下四分位数，最大的为上四分位数。中间的四分位数称中位数。
每两个四分位数直接的距离称四分位距。
公式： 四分位距 = 上四分位数 - 下四分位数
优点：与全距相比，较少受到异常值影响，因为异常值不可能位于中心位置，要么极大，要么极小，四分位距可以将异常值统统铲除。
效果：经过剔除后，四分位距仅仅保留了中间最有代表的50%的数据。
计算方法：
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求下四分位数：
先把总位数（频数）4等分，n /4.
结果是整数，则下四分位数位于“n /4”这个位置和下一个位置的中间，取二者的均值，所得即为结果。
结果不是整数，向上取整，所得即为结果。
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求上四分位数：
先把总位数（频数），3n /4.
结果是整数，则上四分位数位于“3n /4”这个位置和下一个位置的中间，取二者的均值，所得即为结果。
结果不是整数，向上取整，所得即为结果。
核心：用一组数据的四分之一位置的数减去四分之三位置的数，去掉有异常头部和尾部，保留核心的中间 50%的位置
- 实例：计算下面表格的全距和四分位距：
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| 比赛得分 | 3 | 6 | 7 | 10 | 11 | 13 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 频数 | 2 | 1 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 |
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全距：
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下四分位数，上四分位数：
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四分位距：
- 百分位数：
四分位数是将数据一分为四的数值，同理，将数据一份为百的数值就是百分位数。
第k百分位数就是位于数据范围k%处的数据，常用Pk表示。
用途：虽然不常用，但在划分名词，排行时很有用。
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例子：你英语测验考了50分，如果不跟别人比，你是无法知道自己考的好还是坏。但是告诉你测验的第90百分位数是50分，那么，你的分数肯定高于或等于其他90%的人。
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求百分位方法：
将所有数值升序排列；
求出n个数字的第k百分位数的位置，计算k(n/100)；
结果为整数，则百分位数处于第k(n/100)位和下一位数之间，去两个位置的均值。
结果不是整数，则向上取整，结果即百分位数的位置。
例子：有125个数，求十分位数，先计算10*125/100=12.5，向上取整得13，即十分位数为第13位的数值。
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箱线图
或称箱形图，能在同一张图上体现多个距和四分位数。“箱”显示四分位数和四分位距的位置，“线”则显示出上、下界。
图示：
全距与四分位距的问题：它们仅告诉你最大值和最小值直接的差值，却无法告诉你得这些最高分和最低分的频率，以及更为稳定的得分是多少。
- 方差，标准差：
度量分散性的一种方法，它描述了典型值与均值的距离。
公式：
简单算法：
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标准分：
当有2组或多组不同的数据集进行比较时，都具有不同的均值和方差，普通方法就无法比较。而通过标准分，我们就可以把这些数据视为来自同一个数据集或数据分布，拥有相同的均值和方差，从而更方便比较。
- 标准分用字母“z”表示，公式：
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作用：将几个数据集转换成一个新分布，这个新分布均值为0，标准差为1.
z分布为正，表示数值高于均值；为负表示数值低于均值。
案例：
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标准分（z分）：
球员1：z = (75-70)/20 = 0.25 ;球员2：z =(55-40)/10 =1.5
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比较：
结果显示：尽管总体上看球员1是更优秀的选手，但是标准化后，球员2的得分比球员1得分更高。说明球员2相对于本人的历史记录，2表现的更好。
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通常，统计师会用距离均值若干个标准差表示某个特定数值的相对位置。用于衡量某个数值距离均值距离的远近。
- 如：一个数值距离均值在1个标准差范围内，标准分为[-1,1];
2个标准差范围内，标准分为[-2,2]。
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标准分与异常值：
- 有时候可以将异常值定义为偏离均值3个标准差的数值，不过，具体因人、因行业需求而异。
