广义线性模型与逻辑回归（为什么逻辑回归要用Sigmoid函数）

广义线性模型与逻辑回归

广义线性模型的原理

首先，广义线性模型是基于指数分布族的，而指数分布族的原型如下
P(y;\eta)=b(y) \cdot \exp(\eta^TT(y) - \alpha(\eta))

其中 \eta 为自然参数，它可能是一个向量，而 T(y) 叫做充分统计量，也可能是一个向量，通常来说 T(y)=y。

广义线性模型就是把自变量 x 的线性预测函数 \theta^T x 当作因变量 \eta 的估计值。

根据指数分布族来构建广义线性模型的三个假设

  • 给定特征属性 x 和参数 \theta 后，y 的条件概率 P(y|x;\theta) 服从指数分布族，即 y|x;\theta \sim ExpFamily(\eta)。
  • 预测 T(y) 的期望，即计算 E[T(y)|x]，通常来说 T(y)=y。
  • \eta 与 x之间是线性的，即 \eta = \theta^T x。

逻辑回归

  • 伯努利分布又叫做两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，若伯努利实验成功，则伯努利随机变量取值为1，如果失败，则伯努利随机变量取值为0。并记成功的概率为 \phi，那么失败的概率就是 1-\phi
  • 伯努利分布的概率密度函数
    P(y; \phi) = \phi^y (1- \phi) ^ {1- y}如果把伯努利分布写成指数分布族，形式如下
    \begin{split} P(y; \phi) &= \phi^y (1- \phi) ^ {1- y}\\ &= \exp (\ln ( \phi^y (1- \phi)^ {1- y}))\\ &= \exp (y \ln \phi + (1-y) \ln (1- \phi))\\ &= \exp (\ln \frac{\phi}{1-\phi} \cdot y + \ln (1- \phi)) \end{split}对比指数分布族，有
    b(y)=1, \eta=\ln \frac{\phi}{1-\phi}, T(y)=y, \alpha(\eta)=- \ln(1-\phi)
  • Logistic回归是基于伯努利分布的，推导可得Sigmoid函数，如下
    \eta=\ln \frac{\phi}{1-\phi} \Rightarrow \phi = \frac{1}{1+ e^{-\eta}}其中 \eta = \theta ^ T x，\phi 即为预测为正样本的概率。
    这也解释了为什么逻辑回归要用Sigmoid函数。

Sigmoid 函数的性质

  • sigmoid 函数连续，单调递增
  • sigmiod 函数关于(0, 0.5) 中心对称
  • 对sigmoid函数求导 p′=p∗(1−p)，计算sigmoid函数的导数简单快速
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