多元随机变量

  1. 联合分布
    离散变量：f_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y)
    连续变量：f_{X,Y}(x,y)满足
    P((X,Y)\in A)=\int_A\int f(x,y)dxdy

  2. 边际分布
    离散变量：f_{X}(x)=P(X=x)=\sum_{y\in R} f_{X,Y}(x,y)
    连续变量：f_{X}(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x,y)dy

  3. 条件分布
    定义：f(y|x)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}
    独立随机变量：f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)
    定理1：如果X\sim n(\mu,\sigma^2)，Y\sim n(\gamma,\lambda^2)，那么Z=X+Y\sim n(\mu+\gamma,\sigma^2+\lambda^2)
    定理2：如果X\sim Poisson(\theta)，Y\sim Poisson(\lambda)，并且X和Y相互独立，那么X+Y\sim Poisson(\theta+\lambda)

  4. 协方差与相关系数
    协方差：Cov(X,Y)=E((X-\mu_{X})(Y-\mu_{Y}))
    相关系数：\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}
    定理1：如果X和Y相互独立，那么Cov(X,Y)=0
    定理2：Var(aX+bY)=a^2VarX+b^2VarY+2abCov(X,Y)
    定理3：-1\leq\rho_{XY}\leq1

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