母函数与特征函数

一、母函数

    设随机变量X取非负整数值，对应的分布列为P(X=k)=pk,k=0,1,2...；则称P(s)=\sum_{k=0}^{+\infty}p_{k}s^k = E(s^k) 为X的母函数。   

    易知，|s|\leq1时，上述级数一致收敛且绝对收敛。

    性质：

    ①    唯一性：母函数与分布函数相互决定。

    ②    数字特征：利用母函数可以求得数字特征。

            EX=\sum_{k=0}^{\infty}kp_k=P^{\prime}(1);

            DX=P^{\prime\prime}(1)+P^{\prime}(1)-[P^{\prime}(1)]^2


二、特征函数

    设随机变量X的分布函数为F_X(x),则称

    f_x(t)=Ee^{itx} = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}dF_X(x)为X的特征函数。

    性质：

    ①    f(0)=1，|f(t)|\leq f(0) ，f(-t)=\bar{f(t)}

    ②    特征函数在定义域上一直连续

    ③    特征函数非负

    ④    随机变量之和的特征函数，为各自特征函数之积（避免卷积）

    ⑤    设随机变量X的n阶矩存在，则特征函数可以微分n次，且

            f^{(k)}(0)=i^kE(X^k)

    ⑥    唯一性，特征函数与分布函数一一对应




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