矩阵等价、相似、合同与正定

Lemma1. 矩阵 $A$ 可逆，当且仅当 $A$ 可以表示为有限个矩阵的乘积.

def 矩阵等价 若存在可逆矩阵 $P$ ， $Q$ ，使得 $PAQ=B$ ，则称 $A, B$ 等价.

def 矩阵相似 若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ ，则称 $A,B$ 相似.

def 矩阵合同 若存在可逆矩阵P，使得 $P^{\rm T}AP=Q$ ，则称 $A, B$ 合同.

def 正定 若 $f=x^TAx>0$ ，称 $f$ 为正定二次型， $A$ 为正定矩阵. 其中 $A$ 为实对称矩阵.

Theorem 1.

(1) 矩阵相似蕴涵矩阵等价.

(2) 矩阵合同蕴涵矩阵等价.

proof. Trivial.

Theorem 2. 矩阵 $A, B$ 合同，当且仅当 $A, B$ 有相同的正惯性指数.

Remark.

相似关系保特征值.
合同关系保正惯性指数. 合同关系保正定型.
实行正交变换时， $Q^{\rm T}=Q^{-1}, Q^{\rm T}AQ=\Lambda$ ，此时所得的标准型才唯一. 对于非正交变换，所得标准型不一定唯一.
若 $A$ 是实对称矩阵，则 $A$ 既相似又合同于对角阵 $\Lambda$ .