初高中衔接讲座：正方形内的直角三角形

$\boxed{\mathbb{Q16.}}$ 正方形内的直角三角形

如图，正方形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $BC$ ， $CD$ 的中点， $AF$ 与 $DE$ 交于点 $G$ .

判断以下 4个结论是否正确. 如不正确请说明理由；如果正确请证明.

① $AF \perp DE$ ;

② $AD= BG$ ;

③ $GE＋GF=\sqrt{2} \,GC$ ;

④ $S_{\triangle AGB}=S_{ {四边形} ECFG}$ .

正方形内的直角三角形

说明：本题根据汕头市金平区中考模拟题改编.

【解析】

(1)

∵ $AD=DC,\; DF=EC,\; \angle ADF=\angle DCE$ ,

∴ $\triangle ADF \cong \triangle DCE$ ,

∴ $\angle CDE = \angle DAF$ ,

∴ $\angle ADG+\angle DAF=90°$

∴ $AF \perp DE$ .

(2)作中点M。显然有：

$AF \perp BM$ （与 $AF \perp DE$ 同理）

∵ $AF \perp DE, MA=MD$ ,

∴ $MG=MA$

∵ $AF \perp BM, MA=MD$ , ∴ $BM$ 是线段 $AG$ 的垂直平分线。（三线合一）

∴ $BG=BA=AD$ .

(3) 作 $GQ \perp DC$ . 显然有：

$\triangle DCE, \;\triangle DGF, \;\triangle DQG$ 三个三角形相似，对应边成比例。

而 $EC:CD:DE=1:2:\sqrt{5}$ , 所以 $GF=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

$QF=\dfrac{1}{5}$ , $QG= \dfrac{2} {5}$

$GC = \sqrt{QF^2+QG ^2 } = \dfrac{2}{5} \sqrt{10}$

$GE=DE-DG= \dfrac {3} {5} \sqrt{5}$

$GE+GF=\dfrac{4}{5}\sqrt{5}$

$GE＋GF=\sqrt{2} \,GC$ .

(3) 令 $CD=2$ , 则 $CE=1$ , $S_{\triangle DCE}=1$

由三角形相似关系可知：

$S_{\triangle DGF}=(\dfrac{1}{\sqrt{5}})^2 S_{\triangle DCE}= \dfrac{1}{5}$

$S_{ {四边形} ECFG}= \dfrac {4} {5}$

$S_{\triangle ANB} = (\dfrac{2}{\sqrt{5}})^2 S_{\triangle DCE}=\dfrac{4}{5}$

$S_{\triangle AGB} = 2 \times S_{ {四边形} ECFG}$ .

综上所述，①②③正确；④错误。

【相关物理考题】

2011年大纲卷题25

2013年浙江卷题23~滇金丝猴

高中物理之目：2019年全国卷B题17

高中物理之目~受力分析：2011年海南卷题4

【相关数学考题】

多面体与球：2013年全国卷A题6

立体几何之目：2021年理数全国卷A题19

最后编辑于：2022.03.25 10:36:32

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 226,780评论 6赞 526
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 97,642评论 3赞 411
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 174,427评论 0赞 373
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 62,220评论 1赞 306
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 71,026评论 6赞 405
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 54,544评论 1赞 319
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 42,643评论 3赞 433
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 41,796评论 0赞 283
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 48,300评论 1赞 329
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 40,281评论 3赞 352
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 42,426评论 1赞 364
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 37,988评论 5赞 354
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 43,684评论 3赞 342
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 34,090评论 0赞 25
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 35,311评论 1赞 280
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 51,002评论 3赞 385
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 47,409评论 2赞 370

初高中衔接讲座：正方形内的直角三角形

正方形内的直角三角形

推荐阅读更多精彩内容

$\boxed{\mathbb{Q16.}}$ 正方形内的直角三角形