初高中衔接讲座：正方形内的直角三角形

\boxed{\mathbb{Q16.}} 正方形内的直角三角形

如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 的中点，AF 与 DE 交于点 G.

判断以下 4个结论是否正确. 如不正确请说明理由；如果正确请证明.

①AF \perp DE;

②AD= BG;

③GE＋GF=\sqrt{2} \,GC;

④S_{\triangle AGB}=S_{ {四边形} ECFG} .

正方形内的直角三角形

说明：本题根据汕头市金平区中考模拟题改编.

【解析】

(1)

∵ AD=DC,\; DF=EC,\; \angle ADF=\angle DCE,

∴ \triangle ADF \cong \triangle DCE,

∴ \angle CDE = \angle DAF,

∴ \angle ADG+\angle DAF=90°

∴ AF \perp DE.

(2)作中点M。显然有：

AF \perp BM （与 AF \perp DE 同理）

∵ AF \perp DE, MA=MD,

∴ MG=MA

∵ AF \perp BM, MA=MD , ∴ BM 是线段 AG 的垂直平分线。（三线合一）

∴ BG=BA=AD.

(3) 作 GQ \perp DC. 显然有：

\triangle DCE, \;\triangle DGF, \;\triangle DQG 三个三角形相似，对应边成比例。

而 EC:CD:DE=1:2:\sqrt{5}, 所以 GF=\dfrac{1}{\sqrt{5}}

QF=\dfrac{1}{5}, QG= \dfrac{2} {5}

GC = \sqrt{QF^2+QG ^2 } = \dfrac{2}{5} \sqrt{10}

GE=DE-DG= \dfrac {3} {5} \sqrt{5}

GE+GF=\dfrac{4}{5}\sqrt{5}

GE＋GF=\sqrt{2} \,GC.

(3) 令 CD=2, 则 CE=1, S_{\triangle DCE}=1

由三角形相似关系可知：

S_{\triangle DGF}=(\dfrac{1}{\sqrt{5}})^2 S_{\triangle DCE}= \dfrac{1}{5}

S_{ {四边形} ECFG}= \dfrac {4} {5}

S_{\triangle ANB} = (\dfrac{2}{\sqrt{5}})^2 S_{\triangle DCE}=\dfrac{4}{5}

S_{\triangle AGB} = 2 \times S_{ {四边形} ECFG}.

综上所述，①②③正确；④错误。

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