非线性连续介质力学学习笔记
1 连续介质力学的内容和方法
研究对象：气体、液体、可变性固体、场（电磁场、辐射场、引力场）
研究内容：以上研究对象在复杂情况下变形的一般规律。
研究方法：
- 引入概念：确定连续介质的运动
- 力学问题转化为数学问题；
- 数学运算求解
2 基本假设
2.1 实际物体的结构和连续性假设
连续介质力学的内容是研究物体的变形和运动的一般性质和规律，而研究这些物体的变形和运动要以该物体的实际性质为基础。物体是由分子和原子组成的。从这个角度来讲，我们便有两种研究手段：
- 微观手段：该手段从构成物质的基本粒子出发，利用统计学观点，通过统计大量粒子所具有的一些平均的、综合的行为来表现物质的宏观运动。利用这种手段去研究物质的变形和运动，就是统计物理的主要任务。
- 宏观手段：该手段从实验中得到的一般规律和假设为基础，建立唯象的宏观理论。利用这种手段去研究物质的变形和运动，就是连续介质力学的主要任务。
那么，利用宏观手段从实验中得到的一般规律和假设是什么呢？我们不论从日常生活还是实验中，都可以发现：
任何对我们来说有意义的体积内都含有大量粒子，所以可以把物体近似地看作为连续地充满空间的介质。
不仅通常的物体可以视为连续介质，各种场，例如电磁场，也可以当作连续介质。
——谢多夫《连续介质力学》（第1卷）Page8
以上，便是连续介质力学中引入的假设之一——连续性假设。
2.2 空间和时间
物质的变形和运动一定是在空间中发生的，既然我们研究物质的变形和运动，就一定要找到一套工具来度量它们的变形和运动。这里我们采用两大最基本的工具：空间和绝对时间。
- 空间
关于如何利用空间来研究物质的变形和运动，最容易想到的方法就是建立坐标系，而坐标系要建立在度规空间之上。
度规空间是定义了点之间的距离的空间，例如通常的三维欧几里得空间就是度规空间，其中的点由适用于全空间的笛卡尔坐标系
给出，而两点
和
之间的距离由以下公式定义：
——谢多夫《连续介质力学》（第1卷）Page8
然而，并非所有的空间都可以引入笛卡尔坐标系。可以引入笛卡尔坐标系的空间称为欧几里得空间，无法引入的就被称之为非欧几里得空间。在欧几里得空间之内研究物质的变形和运动，就是牛顿力学，在非欧几里得空间之内研究物质的变形和运动，就是相对论的范畴了。
- 绝对时间
我们研究物质的变形和运动，一定从一个观察者的角度来描述。而时间往往与观察者应用的参考系有关。这里引入绝对时间，就是让时间的流逝对于所有观察者都一样，这样我们就可以不必讨论相对论的效用。
以上，就是连续介质力学引入的假设之二——欧几里得空间和假设之三——绝对时间。
综上，我们就介绍了连续介质力学引入的三大假设：
- 连续性假设
- 欧几里得空间
- 绝对时间
未完待续。（2020.02.27）
3 研究方法一：引入概念
如前所述，连续介质力学的研究方法有三种。首先是引入概念。这里的概念主要是一些数学概念和表示方法，比如标量、向量、张量以及下标表示法等。
3.1 标量、向量和张量
3.1.1 标量、向量及其运算
高中我们就学过标量(Scalar)和向量(Vector)。标量指只有大小，没有方向的量；向量指既有大小又有方向的量。
在力学中，质量、密度、温度等都属于标量；而像速度、加速度、力属于向量。标量的运算就是最简单的加减乘除运算，而向量的运算则与标量有所不同。下面是向量常见的一些运算：
-
与标量相乘：
，其中，
是向量，
是标量。该运算代表将向量的模扩大
-
点乘：
，其中，
表示两向量的模，
表示两向量的夹角。两向量点乘的结果是一个标量。
-
叉乘：
，其中，
的方向与向量
垂直并遵循右手法则，它的模为
。
3.1.2 坐标变换与张量
坐标变换
设为以
为原点的三维笛卡尔坐标系下的基向量。某点相对于原点的位置向量可表示为：
令为一个标量场。（注：通过本例可以看出，所谓标量场，就是各坐标的分量构成的一个场，且该坐标的分量仅由一个量决定。）
此时，若选择另外一个以为原点的三维笛卡尔坐标系，其基向量设为
，那么，某点相对于
的位置向量可表示为：
这个时候，表征某点位置的坐标系发生了变化，那么在新的坐标系下，该点的各坐标分量一定也发生了变化。我们需要找出这种变化，也就是找到和
之间的关系。
首先，讨论向量在以原坐标系基底
下的表示。可设为：
由向量点乘的几何意义可得：
利用下标表示：
其次，讨论新坐标系原点在以原坐标系基底
下的表示。可设为：
这样，我们就把向量的基底统一为原坐标系的基矢量
，故而，可以对这两个向量相加。某点在新旧坐标系下的位置向量有以下关系:
张量（Tensors)
我们可以把张量视作一种并矢操作，符号表示为“”。并矢操作不代表任何运算，只代表两侧向量的联通。一个张量作用于一个向量，其结果还是一个向量。也就是说，张量是一个向量到另一个向量的线性映射。例如，向量场的梯度。假设
是三维笛卡尔坐标系下的一个向量场，在该坐标系下的基向量下，向量
的梯度可表示为：
其中，“”代表一种算符(operator)。那么，
就是一个二阶张量。利用该二阶张量，我们可以计算空间中
处的点移动到临近的点
处时，向量场
的变化：
如果把上式写成分量形式：
也可以写成矩阵形式：
通常，二阶张量的一般形式可写为
的矩阵：
为什么要引入张量呢？我们可以把n阶张量视作一个n维数组。比如，0阶张量就是一个标量，1阶张量就是一个1维数组，2阶张量就是一个2维数组，3阶张量就是3维数组……我们人脑对于标量、1维数组、2维数组很熟悉，也便于接受，但3维以上的数组就很难想想了。但是计算机可以处理高维数组，所以引入张量方便数据在计算机里的存储和计算。并且，张量在推导公式方面非常简便。爱因斯坦便是自学张量分析和黎曼几何搞出了广义相对论。下一节的下标表示法中就有爱因斯坦的贡献。而引入下标表示法也是为了方便公式的推导。
3.2 下标表示法
连续介质力学中下标表示法主要有3种：
-
爱因斯坦求和约定(Einstein Convention)
-
克罗内克符号(Kronecker Delta)
-
置换符号(Alternative Symbol)
-
当
为正循环，
；当
；其他情况下
向量叉乘可以用置换符号表示：
-
未完待续。（2020.03.06）
