DOI: 10.1016/j.jqsrt.2012.11.014
- 求解 T-矩阵的两种常规方法是 Waterman T-矩阵法（也被称为扩展边界条件法 EBCM，或零场法 null field method），以及不变嵌入法（IIM）。对于球形、椭球形或无限长圆柱粒子，也可以使用分离变量法（SOV）。
- 本文以 IIM 为基础，结合 SOV，提出了 IIM+SOV 方法。
研究现状
在生物光学、光子学、天体物理学、大气辐射传输和遥感等诸多领域，都需要对介电粒子的光学性质进行精确而高效的计算。
对于无法给出解析解，而必须进行数值计算的问题，准确性和效率就是天平的两端。
这些计算方法中首先可以分为电磁波方法（也即求解 Maxwell 方程组的方法）和几何光学方法。前者是物理精确的，但对于尺寸参数大的粒子来说是不适用的；后者是一种半经验方法，能够很好地处理大粒子情形，但对于小粒子不奏效，因为“光线”概念在小粒子情形下失效。
T-矩阵法的核心是 T-矩阵，这是一个与入射波的传播方向、极化状态，以及散射方向无关的参量。利用 T-矩阵可以高效地计算粒子或粒子群取向平均下的光学性质。
T-矩阵的提出者 Waterman 提出的计算 T-矩阵的方法是 EBCM，但这并不是唯一的途径。Johnson 从标准电磁积分方程中推导得到了 T-矩阵，并提出了 IIM，迭代求解 T-矩阵。Schulz et al. 在椭球坐标系中利用 SOV 得到了球形和椭球形粒子的 T-矩阵。Mackowski 提出了离散偶极矩量法（DDMM）。Loke et al. 将离散偶极近似（DDA）和点匹配法（PMM）结合来计算 T-矩阵。利用矢量球面波函数（VSWF）的平移叠加定理，Peterson and Ström 和 Mackowski and Mishchenko 提出了叠加 T-矩阵法（STMM）。事实上，任何能够用来求解 Maxwell 方程组的方法都能够被用来计算 T-矩阵。
IIM 提出于 1988 年，但在 T-矩阵领域得到的关注并不多，反倒是在辐射传输方程的求解方面得到了不错的结果。时隔二十多年后，数值计算方法和计算机的计算能力都已经有了很大的发展，这为 IIM 的进一步发展创造了条件。
不变嵌入法（IIM）
如下图所示，IIM 的核心思想是把不规则形状的均一散射体视为一个非均一的球体（包含了散射体部分和介质部分），然后对这一球体进行离散化处理，逐层递推计算 T-矩阵。递推的起点是最中心层体积为 0 的球体，其 T-矩阵为零矩阵。
IIM 中的基本方程：
IIM+SOV
IIM 的问题是效率较低。本文作者提出的解决办法是取不规则散射体内接的最大球体，使用 SOV 计算这个球体的 T-矩阵，以此为基础再进行 IIM 的逐层递推。
数值计算
本文方法的两个关键参数是 VSWF 的截断级数和将粒子离散化时的分层数。
为了提高计算效率，采取了以下措施：
- 对于不同的层，采用了不同的截断级数。
- 使用 Mishchenko (2002) 的双向递归方法计算 C-G 系数。并对原方法在
时的问题进行了修正。
为了节约内存，采取了以下措施：
- 只保存 T-矩阵的非零元素
- 通过调换循环顺序，将
从三维降到二维
- 只保存
的非零元素
- 使用单精度类型存储 T-矩阵和
最终的结果是：对于尺寸参数达到 500 的粒子，使用内存不超过 3 GB。
正确性的验证
使用 Mishchenko EBCM 程序中的 HOVENR 子过程对本文方法得到的相矩阵进行了验证。对于不吸收的粒子，单次散射反照率略高于 1，但这一误差在可接受的范围之内。
与其他方法的对比
参与对比的方法有 EBCM、离散偶极近似（DDA）和改进几何光学法（IGOM）。
与 EBCM 对比，可以精确到小数点后四位。但计算时间要长得多：在一个案例中，IIM+SOV 方法用了 32 个核心，运行了 22 分钟；而 EBCM 只用了 1 个核心，运行了 13 分钟。因此，在 EBCM 能够处理的参数范围内，建议还是使用 EBCM。
与 IGOM 相比，IGOM因为忽略了光线间的干涉，因此结果中不存在振荡。
总体来说，在大尺寸参数的情形下，IGOM 方法能够较好地反映粒子的散射特性。在各种形状中，两种方法对于圆柱体的结果最为符合，而对于椭球体的结果则差别较大。这可能是因为圆柱体能够更好地满足几何光学的适用条件。
与 DDA 相比，结果几乎完全一致。但对于大尺寸参数，或需要求解随机取向的情形， IIM+SOV 有更好的计算效率。
本文及相关研究成果已经于 2019 年整理出版，书名为 Invariant Imbedding T-matrix
Method for Light Scattering by
Nonspherical and Inhomogeneous
Particles。
