指数随机图模型 ERGM(Exponential Random Graph Models)
指数随机图模型（Exponential Random Graph Models，ERGM），也称为 p* 模型，是一种用于分析网络数据的统计模型。该模型通过考虑图中节点和边之间的依赖关系，来捕捉网络结构的复杂性。ERGM 的基本思想是，通过定义一系列统计量（称为图统计量），这些统计量反映了图的结构特征，然后使用这些统计量来描述网络的生成过程。
ERGM 的主要步骤包括：
定义图统计量：
图统计量是网络中结构特征的定量表示，例如节点的度数分布、三角形闭包、节点属性的同质性等。这些统计量反映了网络中的局部和全局结构特征。构建概率模型：
ERGM 假设给定图统计量的线性组合（加权和）可以用于描述网络的概率分布。具体来说，ERGM 模型的形式可以表示为：
-
是随机关系集;
是特定的关系集，当
时表示有连接，
时表示无连接，这种连接既可以是有向的，也可以是无向的。
-
是模型参数,
是模型对应的统计量，
是影响因素,
是归一化常数，确保概率和为 1。
- 给定该分布中的特定图
，因此，ERGM可以解释某一网络中的各种可能结构规律。
参数估计：
通过最大似然估计（MLE）或贝叶斯方法来估计模型参数模型检验和诊断：
通过检查模型的拟合优度和残差来评估模型的合理性。例如，可以使用 MCMC 方法生成样本网络，并将其与实际网络进行比较，以验证模型的拟合情况。
ERGM 的优点在于它能够灵活地捕捉网络中的复杂依赖关系和结构特征。然而，由于模型的计算复杂性，特别是对于大规模网络，模型的估计和检验过程可能会比较耗时。
应用领域
ERGM 被广泛应用于社会网络分析、生物网络研究、通信网络建模等领域。例如，在社会网络分析中，ERGM 可以用于研究社交网络中的节点之间的关系模式和影响因素，识别关键节点和社区结构。
示例
假设我们有一个包含 10 个节点的社交网络，节点之间的连边表示友谊关系。我们可以定义一些图统计量，如节点的度数（表示每个节点的朋友数量）、三角形闭包（表示朋友的朋友也是朋友的情况）。通过这些统计量，ERGM 可以用来分析和预测网络的结构特征，例如预测哪些节点更可能形成新的友谊关系。
参考文献
- Robins, G., Pattison, P., Kalish, Y., & Lusher, D. (2007). An introduction to exponential random graph (p*) models for social networks. Social Networks, 29(2), 173-191.
- Wasserman, S., & Faust, K. (1994). Social Network Analysis: Methods and Applications. Cambridge University Press.
library(statnet)
library(ergm)
library(sna)
# 读取数据
data("faux.magnolia.high")
fmh <- faux.magnolia.high
plot(fmh,displayisolates=FALSE,vertex.cex=0.8)
# 读取数据成分--》计算度数和节点个数之间的关联
table(component.dist(fmh)$csize)
# 描述图
summary(fmh)
# 按类别绘制不同颜色的图
plot(fmh,displayisolates=TRUE,vertex.col="Grade",vertex.cex=0.8)
# 节点度的计算
fmh.degreedist <- table(degree(fmh,cmode="indegree"))
fmh.degreedist
#根据分类变量来查看度数分布情况
summary(fmh ~ degree(0:8,"Sex"))
# 内含三元组
summary(fmh ~ triangle)
# 内含边+三元组
summary(fmh ~ edges + triangle)
# 混合矩阵
mixingmatrix(fmh,"Grade")
mixingmatrix(fmh,"Race")
# ermg
model_ergm<-ergm(fmh ~ edges)
summary(model_ergm)
# 网络密度
exp(-6.998)/(1+exp(-6.998))
# 模型结果
names(model_ergm)
model_ergm$coefficients
# 拟合结构=增加星形==>模型退化
model_ergm1<-ergm(fmh ~ edges+kstar(2)+kstar(3))
summary(model_ergm1)
# 拟合结构=增加三角形==>模型退化
model_ergm2<-ergm(fmh ~ edges+triangle)
summary(model_ergm2)
simu<-simulate(model_ergm1,burnin=1e+6,verbose = TRUE,seed = 9)
mixingmatrix(simu,"Race")
mixingmatrix(fmh,"Race")
# 采用图形观测实际值和观测值之间的拟合差异
plot(summary(fmh ~ degree(0:10)),type="l",lty=1,lwd=2,xlab="Degree",ylab="Count")
lines(summary(simu ~ degree(0:10)),type="l",lty=2,lwd=3,xlab="Degree",ylab="Count")
legend("topright",legend = c("observed","simulated"),lwd = 2:3,lty =1:2)
