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配图
不同的特征值的特征向量一定线性无关，普通矩阵特征值相同的特征向量可能线性相关，也可能线性无关，实对称矩阵特征值相同的特征向量线性无关。
k重特征值至多只有k个线性无关的特征向量（也可能没有的）
定理三描述的是：以特征值为λ的特征向量（基本属性-能量相同）作为基础解析，来表示符合特征值为λ的所有特征向量（方向不同）
矩阵A(n阶)满足有n个线性无关的特征向量（⚐每个ki重特征值都有ki个线性无关的特征向量），即可相似对角化。特征值可以不全相同，因为相同的特征值的特征向量可以线性无关，但是有n个不同的特征值时，满足了不同特征值的特征向量线性无关，所以是充分条件，而非必要条件。
⚐:换言之就是特征值相同的特征向量是线性无关的实对称矩阵必相似于对角矩阵，因为必可相似对角化，但可相似对角化不能推出矩阵是实对称矩阵，因为n个线性无关的特征向量不能保证红色部分的特征向量存在，即不能保证不同特征值的特征向量线性无关。
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辅助理解
根据特征向量数学公式定义，A ξ = λ ξ，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，除了零向量，有没有其他向量可以在向量空间变换完不改变方向的？(注意：特征向量不能是零向量)
所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已。
特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，引用了谱定律的时候，情况就不一样了。
其核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是：
从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率—说通俗一点就是能量，特征值掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手中。
一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短）。
