古希腊哲学家芝诺是出了名的喜欢创制非常难解的谜题的人。他想出了一系列看似很有理、却又明显矛盾的情形，它们被称为“芝诺悖论”。芝诺的系列悖论中最有名的一个是“阿喀琉斯和乌龟”。
“阿喀琉斯和乌龟”悖论说的是，英雄阿喀琉斯参加与一只乌龟的长跑比赛。这不是一只普通乌龟，而是在击败了伊索（古希腊寓言作家）的兔子后洋洋自得的那只乌龟。为了公平起见，阿喀琉斯让乌龟领先一步——比如1千米。比赛开始后，阿喀琉斯很快就到达了乌龟的出发点。然而，此时乌龟已笨拙地前进了一段距离，例如1/10千米。阿喀琉斯又迅速跑完了这100米，但此刻乌龟又往前挪动了一小段距离——1/100千米……
芝诺悖论指出，由于乌龟总是领先阿喀琉斯一步——每当阿喀琉斯到达乌龟所在的上一个位置，乌龟总是又往前走了一段距离（尽管这段距离可能很短很短），所以阿喀琉斯永远都追不上乌龟。虽然阿喀琉斯每次所跑的距离越来越短，但乌龟有无限段领先距离需要他跨越。这个距离用公式可表述为：1+1/10+1/100+1/1000+…10的无限次方分之一
根据芝诺所言，阿喀琉斯“不可能在有限时间内跨越无限段的距离”。
直到19世纪，数学家才证明了芝诺悖论是错的。随着阿喀琉斯与乌龟之间的距离越来越短，阿喀琉斯追赶得也越来越快。事实上，阿喀琉斯与乌龟之间的距离最终会变得无限短，以至于他瞬间就跑过了乌龟。因此，他完全能赶上乌龟，轻易超越它。
那么，到什么位置时阿喀琉斯能追上乌龟呢？由于19世纪数学家们的工作，我们知道，对于任何介于0和1之间的数值n来说：1+n+n² +n³ +…n的无限次方=1/（1-n）
对于芝诺悖论而言，取n=1/10，那么阿喀琉斯会在仅仅跑了1.11米之后就追上乌龟。
二分法与上面的悖论类似。假设一个人想要到达终点O，他必然要先到达中点A，但如果他想要到达A，他必须先到达起点与A点之间的中点B……以此类推，这个人想要达到某一点n，必须要先到达起点与这一点的中点m，因此他就困在这个二分的陷阱之中，永远无法到达目的地。
