探索数学极限
一般来说，零维到三维毫无争议的。零维就是一个点。一维就是一条线。二维就是平面。三维就是我们身处的空间，是一个立体的空间。
到了再高维，争论就比较多了。网上大抵有这样的说法：四维就是在三维的基础上加一个时间轴。高于四维就在时间轴上做文章，比如五维就是三维空间加二维时间，也就是我们常听到的平行宇宙的概念。六维则是三维空间加三维时间——不只是平行宇宙，还可以穿梭于任意的时空并可以改变时空。
将六维看作是一个点的话，拉成一条线就成了七维，然后再扩展成一个平面就是八维，再扩展成立体就是九维。还有一种说法，八维中的每个宇宙的物理性质、化学反应规则都不一样，到了九维更了不得，你可以任意改变宇宙规则。（难道说造物主生活在九维空间？）
再高阶就是十维，十维就是零维，就成了一个点，里边包含了无限的时空，无限的可能性及无限的无限等等。（难道宇宙爆炸学说就是宇宙从零维的超维变化？）
但是，上面这种说法明显就是身处三维空间的人才会有的理论：空间没有超出三个维度，时间也没有超出三个维度，再加上宇宙规则，实在没有可说的，到了十维就成了零维。这显然是不准确的。我认为加入了时间维度的高维，就不能说是高维空间，只能说是高维时空。时间是一个伪维度，因为时间并不会与空间中的维度互相垂直，度量也不同。举例来说，我们现在身处三维空间，用上面的说法也算是四维时空，那我们到底是在三维还是四维？如上的说法是将时空和空间混为一谈了。
四维或高维空间（不含时间维度）是存在的，这个空间要有四个或多个维度与前面所有的维度都互相垂直才可以，只是身处三维空间的我们无法想象罢了。但是高维空间在我们三维空间里仍然有迹可循。就是通过我们以三维的角度来观察二维来想象更高维的人来观察我们是怎么回事，再反推高维空间是什么样子的。
其实四维空间在我们三维空间里有时也会露出一鳞半爪，就比如说克莱因瓶。克莱因瓶从理论上来讲，它就是一个四维空间的物品。
这本书名为《我们在四维空间可以做什么》一一用四维空间作为一个噱头，但书中重点讲述的则是关于数学的东西。从最简单的计数开始，到各种更高阶的图形、数、高维空间，再到无穷是什么等等，将数学从简单到复杂，为我们描绘了一个无穷无尽的数学空间。高维也只是数学家们研究的一个方向。
在现代数学领域，所谓的高维常用于数学建模。就比如说三维空间一个点需要三个坐标，如果同时要知道两个点，则需要六个坐标，组合在一起就用到了六个维度。如果一个函数需要n个输入，得到N个输出，则需要n+N维。
但是这个数学应用上的高维度，与高维空间还是有所不同的。
还好，人类拥有智慧，虽然无法想象高维空间，却可以做逻辑推演，来反推更高维的空间是怎么样的。这本书里有一个很有趣的推演，用一个超立方体来围住一个超球体。从二维平面一个正方形围住一个圆，到三维空间一个正立方体围住一个球体，就这样一直做推演，从圆到球再到高维的超球体，从正方形到正立方体再到高维的超立方体，最后计算出来的超维空间的球体竟然比困住它的超立方体还要大N多倍。推演到最后，超球体竟然是带“刺”的。（我三维的脑袋瓜完全无法想象）
高维空间是我们无法想象的，同样，书中提到的“无穷”也是我们无法想象的。那是未知的空间，仿佛是神的领域，我等凡人是不能窥视的，可能窥视一眼，就会将我们以往所有的认知推翻。就比如说正整数的和1+2+3+4+5一直加到无穷，最终竟然推导出等于-1/12这样一个确值。（我脑袋瓜嗡嗡的）
从数学的历史发展来看，从最初的正整数，到小数、分数，到0、负数、虚数，再到多维数，从点、线、面、曲面，到纽结，到高维空间。数学也衍生出多个分支，如算术、几何、数论、图论、拓扑等等。再加上各种公理、推论、猜想。每一种数学上新名词的出现，都在挑战着人类认知的极限。
而这本《我们在四维空间可以做什么》书中，作者以十分浅显的语言，以18堂课的形式为我们讲述数学的前世今生，随着这本书读到后面，知识也越来越不容易理解。而这些知识都是数学家们在数学领域取得的一个又一个阶段性的胜利。通过数学历史的发展，展望未来的数学空间究竟在哪里。
到底数学的极限在哪里谁也不知道，只能通过数学家们不断地用已知的理论去归纳去推理去证明去实践未知。有些数学猜想，可能现在看来还不知道会派上何种用场，但是谁也不敢保证未来的某一天不会发挥出巨大的作用。或许等到有一天，在我们不知道的数学空间里，打开一扇新的门时，可能我们迎来的又是一番新天地。
