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复变函数1.1：复数及其几何表示

复变函数1.1：复数及其几何表示

第一章 $\quad$ 复数及复平面

一、复数及其几何表示

1. 复数域

基本定义
复数 $z=x+iy$ , 其中 $x,y\in {\bf R}$ , $i$ 是虚数单位(也可记作 $\sqrt{-1}$ );
$x$ 是实部, 记作 $x={\rm Re} \ z$ ;
$y$ 是虚部, 记作 $y={\rm Im} \ z$ ;
若 ${\rm Im} \ z=0$ , 则称 $z$ 为实数，记作 $z={\rm Re} \ z$ ;
若 ${\rm Re} \ z\neq0$ , 则称 $z$ 为虚数;
若 ${\rm Re} \ z=0$ , 则称z为纯虚数，记作 $z = i\ {\rm Im}\ z$
全体复数所成的集记作 ${\bf C}$ , ${\bf R}$ 是 ${\bf C}$ 的一个子集.
对复数域引进加、减、乘、除，形成在集 $\bf C$ 上的一个代数结构, 使其成为复数域 $\bf C$

2. 复平面

点表示
作映射 ${\bf C} \rightarrow {\bf R^2}:z=x+iy\mapsto (x,y) \in {\bf R^2}$ , 即一个复数对应一个点，形成双射
向量表示
- 复平面 $\mathbf{C}$ 上一切向量记作所组成的集记作 $V$ .
- 等价类：一向量经过平行移动(把平行移动记作“关系 $P$ ”)而的的所有向量，与原向量构成一个等价类.
- 商集：集 $V$ 对于关系 $P$ 的所有等价类构成构成一个新集，称为 $V$ 关于 $P$ 的商集, 记作 $V/P$ .
- 综上，一个复数可以由一个向量或它的等价类中任一向量来表示
模和辐角
- 模：向量 $z$ 的长度，记作 $|z|$ , 显然 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
- 辐角：实轴的正向量与向量 $z$ 之间的夹角(这里假定 $z\neq 0$ ),记作 $\theta$ ,显然 $\theta$ 有无穷多个值，记作 ${\rm Arg}\ z=\theta +2k\pi$ 或 ${\rm Arg}\ z=\theta+2\pi{\bf Z}$ 其中 ${\bf Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\cdots\}$ , ${\rm Arg}\ z$ 中只有一个值满足 $-\pi<\alpha \le \pi$ , 它叫做 $z$ 的辐角的主值，记作 ${\rm arg}\ z$ .
- 实部与虚部的模和辐角表示 ${\rm Re}\ z=|z|\cos{{\rm Arg}\ z}, {\rm Im}\ z =|z|\sin{{\rm Arg}\ z}$ 于是 $z$ 本身可表示为 $z=|z|(\cos{\rm Arg}\ z+i\sin{\rm Arg}\ z)$ 该式子为 $z$ 的三角表达式
共轭：实部相同, 虚部相反. 其中一个用 $z$ 表示，则另一个用 $\bar z$ 表示, 显然 $z$ 与 $\bar z$ 关于实轴对称. 且
$|z|=|\bar z|, {\rm Arg}\ z = -{\rm Arg}\ \bar{z}$
相关不等式
$||z_1|-|z_2||\le |z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ $||z_1|-|z_2||\le |z_1-z_2|\le |z_1|+|z_2|$ $|{\rm Re}\ z| \le |z|, |{\rm Im}\ z|\le |z|$ $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$

3. 复球面及无穷大

即复数在球面上的几何表示.

在点坐标是 $(x,y,u)$ 的三维空间中，把 $xOy$ 平面看作 $z=x+iy$ 平面. 考虑球面 $S$ $x^2+y^2+z^2=1$ 取定球面上一点 $N(0,0,1)$ , 称为球极.
作连接 $N$ 与 $xOy$ 平面上任一点 $A(x,y,0)$ 的直线, 并且设这直线与球面的交点是 $A'(x',y',u')$ .
那么称 $A'$ 为 $A$ 在球面上的球极射影.
$(x,y,0),(x',y',u'),(0,0,1)$ 共线 $\Rightarrow x:y:-1=x':y':u'-1 \Rightarrow$ $z=x+iy=\frac{x'+iy'}{1-u'}$
$|z|^2=z\bar{z}=\frac{(x')^2+(y')^2}{(1-u')^2}=\frac{1-(u')^2}{(1-u')^2}=1+\frac{1+u'}{1-u'}\Rightarrow$ $x'=\frac{z+\bar{z}}{|z|^2+1}, y'=\frac{z-\bar{z}}{i(|z|^2+1)},u'=\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}$
综上，在复平面 $\bf C$ 与 $S-\{N\}$ 之间建立了一个双射. 我们约定复平面上有一个理想的点，称为无穷远点，其球极射影为 $N$ ; 无穷远点及 $N$ 可以看作一个新引进的非正常复数无穷大(即 $\infty$ )在平面及球面上的几何表示.
集 ${\bf C}\cup \{ \infty \}$ 称为扩充复数集 ${\bf C}_\infty$
复平面 ${\bf C}\cup \{ \infty \}$ 称为扩充复平面 ${\bf C}_\infty$
于是, 在球面 $S$ , 扩充复平面 ${\bf C}_\infty$ , 扩充复数集 ${\bf C}_\infty$ 之间分别建立了双射.
正常的复数及复平面上的点称为有限复数及有限点. 除特别声明外，只考虑有限复数及复平面.
复数 $\infty$ ：实部, 虚部及辐角的概念无意义; 模约定为 $|\infty|=+\infty$ , 对任意有限复数 $z$ , $z<+\infty$ .
为计算需要，引进下列运算的意义：设 $\alpha$ 为有限复数，那么 $\alpha \pm \infty=\infty \pm \alpha=\infty$ $\alpha \cdot \infty = \infty \cdot \alpha =\infty(\alpha \neq 0)$ $\frac{\alpha}{0}=\infty, \frac{\alpha}{\infty}=0(\alpha \neq 0)$ 运算 $\infty \pm \infty,0\cdot\infty,\frac{0}{0}$ 以及 $\frac{\infty}{\infty}$ 没有意义.

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