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今天我们要讲的是最长上升子序列（LIS）。
【题目描述】
给定N个数，求这N个数的最长上升子序列的长度。
【样例输入】
7
2 5 3 4 1 7 6
【样例输出】
4
什么是最长上升子序列？ 就是给你一个序列，请你在其中求出一段不断严格上升的部分，它不一定要连续。
就像这样：2,3,4,7和2,3,4,6就是序列2 5 3 4 1 7 6的两种选取方案。最长的长度是4.
那么，怎么求出它的最大上升子序列长度为4呢？这里介绍两种方法，都是以动态规划为基础的。
首先，我们先介绍较慢（O（n2n2））的方法。我们记num为到这个数为止，最长上升子序列的长度。
这种方法就是每一次寻找“可以接下去的”，换句话说，设原序列为a，则
当aj<ai(j<i)ajnumi时，numi=numj+1numi=numj+1。
对于每一个数，他都是在“可以接下去”的中，从前面的最优值+1转移而来。
因此，这个算法是可以求出正确答案的。复杂度很明显，外层i枚举每个数，内层j枚举目前i的最优值，即O（n2n2）。
那么，有没有更快的方法呢？当然有。这回要用到二分。
我们回想一下，在上面O（n2n2）的程序中，哪些地方看起来比较费时？
没错，就是内层用于更新i的循环。因为每一次他都要查找一遍，效率并不高。
回到题目，我们发现，他只要我们求长度，所以？
我们可以模拟一个栈。
所以每遇到一个比栈顶元素大的数，就放进栈里，遇到比栈顶元素小的就二分查找前边的元素，找到一个“最应该被换掉的元素”，用新数去更新前边的元素。
这个算法不难证明也是正确的。因为前面每一次的枚举都换成了二分，内层的复杂度从nn降到了log2log2，外层不变。所以总的复杂度是O(nlog2nnlog2n)。
接下来，我先给出朴素算法的代码。
#includeconstintMAX=1001;int a[MAX];intlis(int x)
{
int num[MAX];
for(inti=0;i
{
num[i]=1;
for(intj=0;j
{
if(a[j]num[i])
num[i]=num[j]+1;
}
}
intmaxx=0;
for(inti=0;i
if(maxx
maxx=num[i];
return maxx;
}int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(inti=0;i
scanf("%d",&a[i]);
return!printf("%d\n",lis(n));
}
这个则是二分算法的代码：
#include#includeconstintMAXN=200001;int a[MAXN];int d[MAXN];int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(inti=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
d[1]=a[1];
intlen=1;
for(inti=2;i<=n;i++)
{
if(a[i]>d[len])
d[++len]=a[i];
else {
intj=std::lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
d[j]=a[i];
}
}
printf("%d\n",len);
return0;
}
类似的，我们可以通过二分查找中改变“上确界”和“下确界”，以及符号（“<”和“<=”或“>”、“>=”等），求出最长不下降、不上升、严格下降子序列等问题。
希望对大家有帮助。满意请点赞！
