测度空间(measure space)

测度空间一般记作 $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ ，其中 $\Omega$ 为样本空间(sample space)， $\mathcal{F}$ 为一个 $\sigma$ -域( $\sigma$ -field)， $\mu$ 为测度(measure)，下面将分别介绍这个三元组每一部分的具体含义。

一、样本空间

样本空间 $\Omega$ 为一个集合，在统计学中， $\Omega$ 中的每一个元素 $\omega$ 都是一个结果(outcome)。所以我们可以将所有的 $\omega\in\Omega$ ，看作我们研究的过程中的所有可能出现的结果的集合。

样本空间可以为任意形式的集合，例如：

· $\Omega=\{H,T\}$ ，其中 $H$ 代表硬币的正面， $T$ 代表硬币的反面；

· $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ，代表骰子六个面的数字；

· $\Omega=[0,1]$ ，代表0到1间的任意一个数字

事件(event) $A$ 为样本空间 $\Omega$ 的一个子集，它表示一系列结果的集合。这里事件 $A$ 发生，表示一次实验结果 $\omega$ 落在了 $A$ 中，即 $\omega\in A$ ，而不是事件 $A$ 中的所有结果都出现了。所以全集 $\Omega$ 表示这次试验中出现的任何一个结果，而不是所有的结果都发生了。事件的交集和集合的交集在理解上是有区别的。

二、 $\sigma$ -域

定义 2.1 域(field) $\mathcal{F}$ 为样本空间 $\Omega$ 上的事件的集合，它满足：

(1) $\Omega\in\mathcal{F}$ ；

(2)若 $A\in\mathcal{F}$ ，则 $A^c\in\mathcal{F}$ ；

(3)若 $A,B\in\mathcal{F}$ ，则 $A\cup B\in\mathcal{F}$

直观来说，域 $\mathcal{F}$ 为一些事件的集合。全集 $\Omega$ 表示所有的结果，因为我们总可以观察到一些结果，所以 $\Omega\in\mathcal{F}$ ；如果 $A\in\mathcal{F}$ ，即我们如果能观察到 $A$ 发生，那么我们就也能观察到 $A$ 未发生，即 $A^c\in\mathcal{F}$ ；如果 $A,B \in\mathcal{F}$ ，即如果我们能分别观察到 $A$ 发生或 $B$ 发生，那么我们也就能观察到 $A$ 或 $B$ 发生，即 $A\cup B\in\mathcal{F}$ 。

同理，我们也应该能观察到 $A$ 和 $B$ 同时发生，即 $A\cap B\in\mathcal{F}$ ：

证明：首先 $A\cap B=(A^c\cup B^c)^c$

由 $A,B\in\mathcal{F}$ ，得到 $A^c,B^c\in\mathcal{F}$

$\implies A^c\cup B^c\in\mathcal{F}$

$\implies (A^c\cup B^c)^c\in\mathcal{F}$

$\implies A\cap B\in\mathcal{F}$ $\square$

根据定义， $\mathcal{F}=\{\emptyset,\Omega\}$ 是 $\Omega$ 上最小的域。

在统计学中，当 $\Omega$ 中的元素由无限个时，我们有时需要考虑一些例如 $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i,A_i\in\mathcal{F}$ ，这样的事件，所以便引入了 $\sigma$ -域：

定义 2.2 称 $\mathcal{F}$ 为 $\Omega$ 上的一个 $\sigma$ -域，若 $\mathcal{F}$ 满足：

(1) $\Omega\in\mathcal{F}$ ；

(2)若 $A\in\mathcal{F}$ ，则 $A^c\in\mathcal{F}$ ；

(3)若 $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$ ，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty}Ai\in\mathcal{F}$

Borel $\sigma$ -域 $\mathcal{B}_{[0,1)}$ 是包含[0,1)上所有开集的最小 $\sigma$ -域。其中[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]形式的区间均为 $\mathcal{B}_{[0,1)}$ 中的元素，可通过交，并，补等运算获得。

$\sigma$ -域和普通域的区别在于定义中的(3)，普通的域只对有限并的运算封闭，而 $\sigma$ -域可以对可数并运算封闭，比如实数集上的有限子集和全集构成的域就是一个不是 $\sigma$ -域的域。该域中的有限集的有限并还是有限集，仍在该域中了；但是可数并就是一个可数集，不在该域中了。

若要证明 $\sigma$ -域是一个域，只需证明：

若 $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$ ，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}\implies$ 若 $A,B\in\mathcal{F}$ ，则 $A\cup B\in\mathcal{F}$

证明：令 $A_1=A,A_2=B,A_j=\emptyset,\forall j>2$ ，

则 $\bigcup_{i=1}^{\infty}Ai=A\cup B$

因为对于 $\forall i>0,A_i\in\mathcal{F}$ ，所以有 $\bigcup_{i=1}^{\infty}Ai=A\cup B\in\mathcal{F}$ $\square$

三、测度

定义 3.1 称二元组 $(\Omega,\mathcal{F})$ 为一个可测空间(measurable space)，其中 $\Omega$ 为一个样本空间， $\mathcal{F}$ 为 $\Omega$ 上的一个 $\sigma$ -域。

定义 3.2 给定一个可测空间 $(\Omega,\mathcal{F})$ ，定义测度 $\mu$ 为函数 $\mu:\mathcal{F}\rightarrow [0,\infty]$ ，满足：

(1) $\mu(\emptyset)=0$ ；

(2)对于互相不相交的(disjoint)任意事件 $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$ ，有

$\mu\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\Big)=\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)$

当 $\mu(\Omega)=1$ 时，称 $\mu$ 为概率测度(probability measure)。

定义 3.3 称三元组 $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ 为测度空间，其中 $(\Omega,\mathcal{F})$ 为一个可测空间， $\mu$ 为定义在 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的一个测度。

直观上讲，测度是用来测量一个集合的度量(measure)或尺寸(size)的量。称 $\mu$ 为测度空间 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的测度，意思为 $\mu$ 可以为 $\mathcal{F}$ 中的所有元素测量一个尺寸；从另一个方向来说，任意一个事件 $A\in\mathcal{F}$ ，它是可以被测度 $\mu$ 度量的。对于互不相交的集合 $A_i\in\mathcal{F}$ 来说，他们的并集的“尺寸”应该等于他们分别的“尺寸”的和。