坐标系

（注：基础知识快速过）

笛卡尔坐标系
左手坐标系：拇指x，食指y，无名指z
右手坐标系：拇指x，食指y，无名指z

左手坐标系 & 右手坐标系
世界坐标系：地球上的“绝对坐标系”
物体坐标系：物体自己的坐标系
摄像机坐标系：摄像机自己的物体坐标系
惯性坐标系：惯性坐标系的原点与物体坐标系的原点重合，但是惯性坐标系的各个轴平行于世界坐标系的轴
嵌套坐标系：父子关系
坐标变换：

向量的基础知识：

（注：基础知识快速过）

向量的维度
向量的形式
与空间中点的关系
零向量
模长
标量乘法、加法、减法、
距离公式

重要的计算

标准化向量
1. $v_{norm} = \cfrac{v}{||v||}$
2.模长为1
点乘：

对应相乘再相加: $a \cdot b = \sum_{i=1}^n a_i b_i$
描述了两个向量的相似程度
点乘等于向量大小与向量夹角cos数的积： $a \cdot b =||a||*||b||cos\theta$
对公式 $a \cdot b =||a||*||b||cos\theta$ 稍作变形，便可求夹角。
其公式为： $\theta = arccos(\frac{a \cdot b}{||a||*||b||})$
如果向量 $a$ , $b$ 均为单位向量，则有： $\theta = arccos(a \cdot b)$
点乘等于0说明两向量垂直

投影
推导过程：
由图易知 $V_{||}$ 平行于 $n$ .所以， $V_{||} = n\frac{||V_{||}||}{||n||} \tag*{1}$
在此三角形中，易知 $cos\theta = \frac{||V_{||}||}{||V||}$ .
所以， $||V_{||}|| = cos\theta ||V|| \tag*{2}$ .
由公式 $1，2$ ，可得：
$V_{||} = n\frac{||V_{||}||}{||n||}$
$= n\frac{ ||V|| cos\theta}{||n||}$
$= n\frac{cos\theta ||V||*||n||}{||n||^2}$
$= n\frac{V \cdot n}{||n||^2}$

注意：
$V = V_{||} + V_{\perp}$
$V_{\perp} = V - V_{||}$

叉乘

怎么算？matlab一行代码搞定：

cross(a,b)

叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量
叉乘的长度等于向量的大小与向量夹角 $sin$ 值的积
$a \times b = ||a|| *||b||*sin\theta$
在2D平面中，叉乘的模 $||a \times b||$ 等于以 $a$ , $b$ 为两边的平行四边形的面积。
若叉乘为0，则两向量平行。

3D中一个向量绕任意轴旋转

假设：

假设旋转轴通过原点，不考虑平移。（这一条假设很重要，之前在这里卡了很久。可以感性的理解为一个基向量绕着一个单位向量旋转）
向量 $n$ 是单位向量

推导过程：
一个从原点开始的向量 $V$ ，绕一个任意的向量 $n$ 旋转。

绕任意轴旋转的向量

将向量 $V$ 投影到 $n$ 轴上，有：
$V = V_{||} + V_{\perp}$
由于 $V_{||}$ 是 $V$ 在 $n$ 上的投影，易知:
$V_{||}= n\frac{V \cdot n}{||n||^2} = n ( V \cdot n) \tag{1}$
（看上面投影那里,注意 $n$ 是单位向量）
很明显可得：
$V_{\perp} = V - V_{||} \tag{2}$
毕竟 $V = V_{\perp} + V_{||}$
对于垂直于 $V_{\perp}、V_{||}$ 的向量 $W$ ，可由叉乘求得：
$W = n \times V_{\perp}$
$= n \times (V - V_{||})$
$= n \times V - n \times V_{||}$
$= n \times V - 0$
$W = n \times V \tag{3}$

把 $V_{\perp}$ 按逆时针旋转一定角度，得到 $V_{\perp}^\prime$
可得 $V_{\perp}^\prime = V_{\perp}cos\theta + Wsin\theta \tag{4}$

联立 $(1)(2)(3)(4)$ :（这里写的很详细了，注意对照着上面的四条公式看）
$V_{\perp}^\prime = V_{\perp}cos\theta + Wsin\theta = (V - n ( V \cdot n))cos\theta + (n \times V)sin\theta$
由于 $V^\prime = V_{\perp} ^\prime+ V_{||}$
可得 $V^\prime = (V - n ( V \cdot n))cos\theta + (n \times V)sin\theta+ n ( V \cdot n)$
得到了 $V^\prime$ 关于 $V、n、\theta$ 的关系公式之后，令三维空间的其中一个基向量 $P = [1,0,0]$ 取代 $V$ ，也就是 $P = V$
有： $P^\prime = (P - (P \cdot n)n)cos\theta + (n \times P)sin\theta + (P \cdot n)n$

使用matlab实现其算法如下：

clc;
clear;
roundAxis = [1,5,3];%绕轴
n = roundAxis./norm(roundAxis);%转为单位向量

v = [1,1,1];
p = [1 0 0];
q = [0 1 0];
r = [0 0 1];
roundAxis = [0 0 0;roundAxis];
plot3(roundAxis(:,1),roundAxis(:,2),roundAxis(:,3),"--");%绘制绕轴
hold on
plot3(v(:,1),v(:,2),v(:,3),"ro");%起始点


for angle = 0:10:360
    %推导出来的旋转矩阵
    F = @(p)( (p - (sum(p.*n)*n))*cosd(angle) + cross(n,p)*sind(angle) + sum(p.*n)*n  );
    pHat = F(p);%相当于分别对基向量进行变换
    qHat = F(q);
    rHat = F(r);
    R = [pHat;qHat;rHat];
    posTemp = v*R;
    plot3(posTemp(1),posTemp(2),posTemp(3),"g.");
    hold on
end

其结果如下：

运行结果

声场 | 3D数学总结1

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坐标系

向量的基础知识：

重要的计算

3D中一个向量绕任意轴旋转

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