1. 信噪比定义

SNR（Signal-Noise Radio)，信号与噪声的功率之比。信噪比越高越好。
线性单位：
$SNR = \frac{P_s}{P_n} = (\frac{V_s}{V_n})^2$

以dB为单位：
$SNR (dB) = 10*log_{10}{\frac{P_s}{P_n}} \\ = 20*log_{10}{\frac{V_s}{V_n}}$
$P_s$ 表示信号的有效功率， $P_n$ 表示噪声的有效功率。
$V_s$ 表示信号的电压幅值（有效值）， $V_n$ 表示噪声的电压幅值（有效值）。

2. 分析

SNR(信噪比)在不同的应用领域有不同的定义方法，其对应的估计方法也不同。我们这里的任务是对一段采集到的(含噪)信号进行SNR估计，就是说我们面对着一段采集信号 $x(k)=s(k)+n(k)，k=1,2…,N$ ;其中s是有用信号(以下简称信号)部分，n是噪声部分。我们需要合理地估计x的信噪比。

在上述情况下，SNR定义为信号功率与噪声功率之比的对数，即：
$SNR (dB) =10*log_{10} \frac{P_s}{P_n} \ \ \ \ \ (1)$
由此可知，想要合理地估计SNR，首先需要用正确的方法估计Ps和Pn。

在对 $P_s$ 和 $P_n$ 进行估计的时候，

首先需要明确的是在我们的估计问题中，有用信号 $s$ 是确定信号还是随机信号。这与我们进行SNR估计的目的有关：
- 如果我们的目的只是计算采集来的这一段 $x$ 的信噪比(而不打算用这个信噪比产生任何其他推论，比如我们试图观察并记录不同时间段的信噪比变化情况)，那么我们可以将信号 $s$ 看作是确定信号，因为这时我们是在对这一段已经客观产生的板上钉钉的没有任何随机性的 $x$ 进行分析，准确地说，我们这个时候是在进行SNR计算或者SNR测量(而不是SNR估计)；
- 如果我们不仅仅要计算这一段x的信噪比，而是要在此基础上推断之后采集的 $x_1,x_2….$ 的信噪比的情况(比如我们试图对一个系统的SNR性能进行估计)，那么这时我们就要把信号s看作是随机信号，因为我们是要从这段x中提取出对我们之后分析 $x_1,x_2…$ 有用的信息，这时才是名副其实的SNR估计。
而对于噪声n，需要明确的是，在绝大多数情况下，从采集到的 $x$ 中分离出 $s$ 和 $n$ 是不现实的。也就是说我们必须在进行本文涉及的SNR分析之前，先采集一段纯噪声信号，通过对该段纯噪声信号的分析得到关于噪声的先验知识，之后将它们应用到本文涉及的SNR分析中。因此，从这个意义上讲，在绝大多数情况下，我们无法将噪声 $n$ 看作确定信号，只能将其看作随机信号来处理。

3. $P_s,P_n$ 估计方法

3.1 将s看做确定信号

就是说 $s$ 的所有信息都已确定下来，我们只需要将必要的信息提取出来计算SNR。根据平均功率的定义：
$P_s =\frac{1}{N*\sum_{k = 1}^{k = N}{|(s(k)|^2}} \ \ \ \ \ (2)$
从理论上说，我们应该从 $x$ 中减去 $n$ ，只分析 $s$ 的部分。但是由于实际情况下很难从 $x$ 中分离出 $s$ 和 $n$ ，因此只能将 $x$ 当作 $s$ 进行后续计算。这在 $P_s>>P_n$ 的情况下误差不会很大，即要求 $x$ 的信噪比不是很低。因此，
$P_s = \frac{1}{N*\sum_{k=1}^{k=N}|s(k)|^2}\ \ \ \ \ (3)$
根据帕塞瓦尔定理， $s$ 的时域能量和频域能量相等(点数问题似乎需要考虑一下)，因此将 $x$ 变换到频域计算 $\frac{1}{N}*\sum |X(f)|^2$ 的结果应该与(3)式相同。可知，将 $s$ 看作确定信号时 $x$ 的SNR计算公式为：
$SNR = 10*log_{10}\frac{\sum|x(k)|^2}{N*P_n} \ \ \ \ (4)$
这里需要有两点说明。

一是有些地方说 $P_s$ 可以用 $\frac{max(|s(k)|)^2}{N}$ 计算，我觉得这种方法只是对(4)式的一种简化；
二是根据 $x=s+n$ ，可知 $x^2=(s+n)^2 \neq s^2+n^2$ ，也就是说 $x、s、n$ 三者不能在能量、功率层面出现任何的加减运算。加减运算只可能出现在幅度层面。而由于噪声 $n$ 的幅度是不可知的(因为是随机变量所以不可分离)，因此在本文所提及的情况中关于加减的想法要坚决摒除。

3.2 将s看作随机信号

在将 $s$ 看作随机信号的时候，我们需要用某个对随机信号不变的量来估计SNR，因为只有这样才能使估计结果对推断之后的SNR有作用。对于宽平稳随机过程 $x$ ，其相关函数 $R_{xx}$ 只与平移量有关，而功率谱 $S(f)$ 作为 $R_{xx}$ 的Fourier变换，亦是相对固定的量(是么)。因此我们可以首先对随机信号 $x$ 同样由于无法分离 $s$ 和 $n$ ，只能分析 $x$ 进行功率谱估计，得到 $S(f)$ ，之后对 $S(f)$ 求均值得到平均功率 $E[S(f)]$ 。若对 $x$ 进行的是M点的功率谱估计，那么
$P_s = \frac{1}{M} * S_s(f) \ \ \ \ (5)$

这里要注意单双边的问题。对于随机信号 $x$ ，每一个 $x(k)$ 均是随机变量， $x$ 的FFT不存在，因此无法利用求FFT的方法来计算功率谱，只能通过其他方法来估计功率谱。功率谱估计的方法很多，最基本的方法是求得相关函数 $R_{xx}$ 后对其进行FFT，另外，ARMA谱估计等现代谱估计方法也是可以的，而且会得到分辨率更高的功率谱。

对于宽平稳随机过程，由于相关函数 $R_{xx}$ 只与平移量有关，因此二阶矩(相当于平移量是0)也是不变的量，所以 $P_s$ 也可以通过
$P_s =\frac{1}{N}*\sum(|s(k)|^2 \ \ \ \ (6)$
求得。综上可知，将 $s$ 看作随机信号时，
$SNR =10*log_{10}\frac{\sum S_s(f)}{M*P_n} =10*log_{10}\frac{\sum |x(k)|^2}{N*P_n} \ \ \ \ (7)$

3.3 $P_n$

对Pn的估计前面已经提到过，n是一定要当作随机变量看待的。因此，根据1(2)中的分析， $P_n$ 同样存在两种估计方法：
$Pn =1/M*sum(Sn(f)) \ \ \ \ (8) \\ =1/N*sum(abs(n(k))^2) \ \ \ \ (9)$

需要注意的是，对 $P_n$ 的估计方法要和 $P_s$ 的估计方法对应，比如 $P_s$ 采用(5）式，那么 $P_n$ 要相应地采用(8)式； $P_s$ 采用(6)式， $P_n$ 要相应地采用(9)式。

3.4 综上所述，对含噪信号SNR估计方法如下：

对于确定性信号 $s$ ，
$SNR = 10*log_{10} \frac{\sum(|x(k)|^2)}{\sum(|n(k)|^2)} \ \ \ \ (10)$
对于随机信号s，
$SNR =10*log_{10} \frac{\sum(S_s(f))}{\sum(S_s(f))} = 10*log_{10}\frac {\sum|x(k)|^2}{\sum |n(k)|^2 } \ \ \ \ (11)$

信噪比