亥姆霍兹方程

本篇讨论波导中的齐次矢量亥姆霍兹方程。

从麦克斯韦方程组出发：

$\nabla\times \vec{E} = - \partial \vec{B}/\partial t$

$\nabla \times \vec{H}=\vec{J}+\partial\vec{D}/\partial t$

$\nabla \bullet \vec{D} = \rho$

$\nabla \bullet\vec{B}=0$

波导的条件：

均匀介质，没有源，即

$\vec{B}=\mu\vec{H}$

$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$

$\vec{J}=0$

$\rho=0$

推导：

由上述波导的条件，麦克斯韦方程组重写为：

$\nabla\times \vec{E} = - \mu\partial \vec{H}/\partial t$

$\nabla \times \vec{H}=\varepsilon\partial\vec{E}/\partial t$

$\nabla\bullet\vec{D}=\nabla\bullet\vec{E}=0$

$\nabla \bullet\vec{B}=0$

E的旋度方程再取旋度，左边为
$\nabla\times\nabla\times \vec{E} = \nabla(\nabla\bullet \vec{E})-\nabla^2\vec{E}=-\nabla^2\vec{E}$

右边为 $- \mu\partial(\nabla\times \vec{H})/\partial t =- \mu\varepsilon\partial^2\vec{E}/\partial t^2$

得到： $\nabla^2\vec{E}- \mu\varepsilon\partial^2\vec{E}/\partial t^2 =0$

同样地，E替换成H也满足该方程。

时谐场情况：

$\nabla^2\vec{E}+\omega^2\mu\varepsilon\vec{E} =0$

令 $k^2=\omega^2\mu\varepsilon$ ,k是波数

$\nabla^2\vec{E}+k^2\vec{E} =0$

这就是齐次矢量亥姆霍兹方程。

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