书名：大宇之形（第一推动丛书·宇宙系列）
作者：丘成桐 史蒂夫·纳迪斯
译者：翁秉仁,赵学信
出版社：湖南科学技术出版社
出版时间：2018-09-01
ISBN：9787535794482

一、《蒂迈欧斯篇》

  大约公元前360年，柏拉图（Plato）完成了《蒂迈欧斯篇》,（Timaeus），这是一篇以对话形式呈现的故事，对话者包括他的老师苏格拉底（Socrates）以及其他三位贤者：蒂迈欧斯、赫谟克拉提（Hermocrates）、克里底亚斯（Critias）。

  通过蒂迈欧斯之口，柏拉图陈述了自己的万有引力理论（theory of everything），其中的核心角色是几何学。

二、柏拉图立体

  柏拉图尤其着迷于一组几何形体，这组特别的多面体也从此被称为“柏拉图立体”。

  这些多面体的各面是全等的正多边形，例如正四面体的四个面是全等的正三角形；正六面体（俗称的正方体）是六个全等的正方形；正八面体是八个正三角形；正十二面体是正五边形；正二十面体则又是由二十个正三角形构成。

  柏拉图用当时的宇宙四种基本元素：土、气、火、水及宇宙本身赋予了这些立体的意义。

柏拉图立体

  欧几里得在《几何原本》中给出了最早的严格证明，即只存在这五种正多面体

三、几何参数

四、核心性质

除了上述参数，柏拉图立体还有以下重要性质：

• 对偶性：
  将立体每个面的中心相连可得到其对偶立体。五种立体中，正四面体与自身对偶；立方体与正八面体互为对偶；正十二面体与正二十面体互为对偶。

• 对称性：
  它们是三维空间中对称性最高的多面体。根据对称群可分为三类：

  • 四面体群 (Td)：
    正四面体。
  • 八面体群 (Oh)：
    立方体和正八面体。
  • 二十面体群 (Ih)：
    正十二面体和正二十面体。

• 外接球：
  所有顶点都共球，即存在一个外接球。

• 等角与等面：
  所有二面角（两个面之间的夹角）相等，所有立体角（顶点处的角）也相等

五、为什么只有五种？

可以通过欧拉公式（V - E + F = 2）来理解。设每个面是正n边形，每个顶点连接m条棱，通过推导可得到一个关键不等式：

1/n + 1/m > 1/2

这个不等式的正整数解只有五组，它们分别对应五种柏拉图立体：

• (n, m) = (3, 3)：正四面体
  (n, m) = (3, 4)：正八面体
  (n, m) = (4, 3)：立方体
  (n, m) = (3, 5)：正二十面体
  (n, m) = (5, 3)：正十二面体

简单来说，一个顶点处所有面的内角之和必须小于360°。只有正三角形、正方形、正五边形在特定数量组合下才能满足这一条件.

六、总结

• 柏拉图立体是几何学中完美对称的典范，其精妙的数学性质与深远的文化影响，使其成为连接数学、哲学与艺术的独特符号。