循环神经网络（RNN）是基于序列数据（如语言、语音、时间序列）的递归性质而设计的，是一种反馈类型的神经网络，其结构包含环和自重复，因此被称为“循环”。它专门用于处理序列数据，如逐字生成文本或预测时间序列数据(例如股票价格)。
一、RNN介绍
1.1 RNN 网络类型
RNN以输入数m对应输出数n的不同，可以划分为5种基础结构类型：
（1）one to one：其实和全连接神经网络并没有什么区别，这一类别算不上 RNN。
（2）one to many：输入不是序列，输出是序列。可用于按主题生成文章或音乐等。
（3）many to one：输入是序列，输出不是序列（为单个值）。常用于文本分类。
（4）many to many：输入和输出都是不定长的序列。这也就是Encoder-Decoder结构，常用于机器翻译。
（5）many to many(m==n)：输入和输出都是等长的序列数据。这是 RNN 中最经典的结构类型，常用于NLP的命名实体识别、序列预测，本文以此为例具体展开。
1.2 RNN原理
关于RNN模型，我们还是从数据、模型、学习目标、优化算法这几个要素展开解析，使用过程需要重点关注的是其输入和输出的差异（本节以经典的m==n的RNN结构为例）：
1.2.1 数据层面
不像传统的机器学习模型假设输入是独立的，RNN的输入数据元素有顺序及相互依赖的，并按时间步逐一的串行输入模型的。上一步的输入对下一步的预测是有影响的（如文字预测的任务，以“猫吃鱼”这段序列文字，上一步的输入“猫”--x(0)会影响下一步的预测“吃”--x(1)的概率，也会继续影响下下步的预测“鱼”--x(2)的概率），我们通过RNN结构就可以将历史的（上下文）的信息反馈到下一步。
1.2.2 模型层面及前向传播
如上图，RNN模型(如左侧模型，实际上也只有这一个物理模型)，按各个时间步展开后（如右侧模型），可以看作是按时间步(t)串联并共享(
RNN除了接受每一步的输入x(t)，同时还会连接输入上一步的反馈信息——隐藏状态h(t-1)，也就是当前时刻的隐藏状态 ℎ(t) 由当前时刻的输入 x(t)和上一时刻的隐藏状态h(t-1)共同决定。另外的，RNN神经元在每个时间步上是共享权重参数矩阵的（不同于CNN是空间上的参数共享），时间维度上的参数共享可以充分利用数据之间的时域关联性，如果我们在每个时间点都有一个单独的参数，不但不能泛化到训练时没有见过序列长度，也不能在时间上共享不同序列长度和不同位置的统计强度。
如下各时间步的前向传播计算流程图，接下来我们会对计算流程逐步分解：
上图展开了两个时间步t-1、t的计算过程；
t取值为0~序列的长度m；
x(t)是t时间步的 输入向量；
U是 输入层到隐藏层的权重矩阵;
h(t)是t时间步 隐藏层的输出状态向量，能表征历史输入（上下文）的反馈信息；
V是 隐藏层到输出层的权重矩阵；
b是 偏置项；
o(t)是t时间步 输出层的输出向量；
1.2.2.1 t 时间步的输入过程
假设各时间步的状态h的维度为2，h初始值为[0,0]，输入x和输出o维度为1。
将上一时刻的状态h(t-1)，与当前时刻的输入x(t)拼接成一维向量作为全连接的隐藏层的输入，对应隐藏层的的输入维度为3 （如下图的输入部分）。
1.2.2.2 t时间步输出h(t) 并反馈到下一步的过程
对应到计算流程图上，t-1时刻输出的状态h(t-1)为[0.537, 0.462]，t时刻的输入为[2.0]，拼接之后为[0.537, 0.462, 2.0]输入全连接的隐藏层，隐藏层的权重矩阵为[[0.1, 0.2], [0.3, 0.4], [0.5, 0.6]]，偏置项b1为[0.1, -0.1]，经过隐藏层的矩阵运算为：h(t-1)拼接x(t) * 权重参数W 拼接 权重矩阵U + 偏置项(b1)再由tanh转换后输出为状态h(t)。接着h(t)与x(t+1)继续输入到下一步（t+1）的隐藏层。
# 隐藏层的矩阵运算的对应代码
np.tanh(np.dot(np.array([[0.537, 0.462, 2.0]]),np.array([[0.1, 0.2], [0.3, 0.4], [0.5, 0.6]])) + np.array([0.1, -0.1]))
# 输出h(t)为： array([[0.85972772, 0.88365397]])
1.2.2.3 t时间步h(t) 到输出o(t)的过程
隐藏层输出状态h(t)为[0.86, 0.884]，输出层权重矩阵为[[1.0], [2.0]]，偏置项b1为[0.1], h(t)经由输出层的矩阵运算为：h(t) * V +偏置项(b2)后，输出o(t)
# 输出层的矩阵运算的对应代码
np.dot(np.array([[0.85972772, 0.88365397]]),np.array([[1.0], [2.0]])) + np.array([0.1])
# o(t) 输出: array([[2.72703566]])
上述过程从初始输入（t=0）遍历到序列结束(t=m)，就是一个完整的前向传播过程，我们可以看出权重矩阵和偏置项在不同时刻都是同一组，这也说明RNN在不同时刻中是共享参数的。
可以将这RNN计算过程简要概述为两个公式：
状态h(t) = f( U * x(t) + W * h(t-1) + b1)， f为激活函数，上图隐藏层用的是tanh。隐藏层激活函数常用tanh、relu
输出o(t) = g( V * h(t) + b2)，g为激活函数，上图输出层做回归预测，没有用非线性激活函数。当用于分类任务，输出层一般用softmax激活函数
1.2.3 学习目标
RNN模型将输入 x(t)序列映射到输出值 o(t)后， 同全连接神经网络一样，可以衡量每个 o(t) 与相应的训练目标 y 的误差（如交叉熵、均方误差）作为损失函数，以最小化损失函数L(U,W,V)作为学习目标(也可以称为优化策略)。
1.2.4 优化算法
RNN的优化过程与全连接神经网络没有本质区别，通过误差反向传播，多次迭代梯度下降优化参数，得到合适的RNN模型参数 （此处忽略偏置项） 。区别在于RNN是基于时间反向传播，所以RNN的反向传播有时也叫做BPTT(back-propagation through time)，BPTT会对不同时间步的梯度求和，由于所有的参数在序列的各个位置是共享的，反向传播时我们更新的是相同的参数组。如下BPTT示意图及U,W,V求导（梯度）的过程。
优化参数 相对简单，求参数
的偏导数，并对不同时间步的梯度求和：
相应的， 在第三个时刻对U的偏导数为：
我们根据上面两个式子可以写出L在 时刻对
和
偏导数的通式：
-
RNN优化的难点
我们把激活函数（sigmoid、tanh）代入，分析上述通式的中间累乘的那部分：
sigmoid函数的导数范围是(0,0.25]，tanh函数的导数范围是(0,1]。累乘的过程中，如果取sigmoid函数作为激活函数的话，随着时间步越长，较小导数累乘就会导致该时间步梯度越来越小直到接近于0（历史时间步的信息距离当前时间步越长，反馈的梯度信号就会越弱），这也就是“梯度消失”。同理，也可能会导致“梯度爆炸”。
1.3 RNN的局限性
上述展示的都是单向的 RNN，单向 RNN 有个缺点是在 t 时刻，无法使用 t+1 及之后时刻的序列信息，所以就有了双向循环神经网络（bidirectional RNN）。
理论上RNN能够利用任意长序列的信息，但是实际中它能记忆的长度是有限的，经过一定的时间后将导致梯度爆炸或者梯度消失（如上节），即长期依赖（long-term dependencies）问题。一般的，使用传统RNN常需要对序列限定个最大长度、设定梯度截断以及引导信息流的正则化，或者使用门控RNN 如GRU、LSTM 以改善长期依赖问题（--后面专题讨论）。
二、 RNN预测股票
本项目通过创建单层隐藏层的RNN模型，输入前60个交易日（时间步）股票开盘价的时间序列数据，预测下一个（60+1）交易日的股票开盘价。
导入股票数据，选取股票开盘价的时间序列数据
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
#（本公众号阅读原文访问数据集及源码）
dataset_train = pd.read_csv('./data/NSE-TATAGLOBAL.csv')
dataset_train = dataset_train.sort_values(by='Date').reset_index(drop=True)
training_set = dataset_train.iloc[:, 1:2].values
print(dataset_train.shape)
dataset_train.head()
对训练数据进行归一化，加速网络训练收敛。
# 训练数据max-min归一化
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
sc = MinMaxScaler(feature_range = (0, 1))
training_set_scaled = sc.fit_transform(training_set)
将数据整理为样本及标签：60 timesteps and 1 output
# 每条样本含60个时间步，对应下一时间步的标签值
X_train = []
y_train = []
for i in range(60, 2035):
X_train.append(training_set_scaled[i-60:i, 0])
y_train.append(training_set_scaled[i, 0])
X_train, y_train = np.array(X_train), np.array(y_train)
print(X_train.shape)
print(y_train.shape)
# Reshaping
X_train = np.reshape(X_train, (X_train.shape[0], X_train.shape[1], 1))
print(X_train.shape)
利用kera创建单隐藏层的RNN模型，并设定模型优化算法adam， 目标函数均方根MSE
# 利用Keras创建RNN模型
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense
from keras.layers import SimpleRNN,LSTM
from keras.layers import Dropout
# 初始化顺序模型
regressor = Sequential()
# 定义输入层及带5个神经元的隐藏层
regressor.add(SimpleRNN(units = 5, input_shape = (X_train.shape[1], 1)))
# 定义线性的输出层
regressor.add(Dense(units = 1))
# 模型编译：定义优化算法adam， 目标函数均方根MSE
regressor.compile(optimizer = 'adam', loss = 'mean_squared_error')
# 模型训练
history = regressor.fit(X_train, y_train, epochs = 100, batch_size = 100, validation_split=0.1)
regressor.summary()
展示模型拟合的情况，训练集、验证集均有较低的loss
plt.plot(history.history['loss'],c='blue') # 蓝色线训练集损失
plt.plot(history.history['val_loss'],c='red') # 红色线验证集损失
plt.show()
以新的时间段的股票交易系列数据作为测试集，评估模型测试集的表现。
# 测试数据
dataset_test = pd.read_csv('./data/tatatest.csv')
dataset_test = dataset_test.sort_values(by='Date').reset_index(drop=True)
real_stock_price = dataset_test.iloc[:, 1:2].values
dataset_total = pd.concat((dataset_train['Open'], dataset_test['Open']), axis = 0)
inputs = dataset_total[len(dataset_total) - len(dataset_test) - 60:].values
inputs = inputs.reshape(-1,1)
inputs = sc.transform(inputs)
# 提取测试集
X_test = []
for i in range(60, 76):
X_test.append(inputs[i-60:i, 0])
X_test = np.array(X_test)
X_test = np.reshape(X_test, (X_test.shape[0], X_test.shape[1], 1))
# 模型预测
predicted_stock_price = regressor.predict(X_test)
# 逆归一化
predicted_stock_price = sc.inverse_transform(predicted_stock_price)
# 模型评估
print('预测与实际差异MSE',sum(pow((predicted_stock_price - real_stock_price),2))/predicted_stock_price.shape[0])
print('预测与实际差异MAE',sum(abs(predicted_stock_price - real_stock_price))/predicted_stock_price.shape[0])
通过测试集评估，预测与实际差异MSE:53.03141531，预测与实际差异MAE ：5.82196445。可视化预测值与实际值的差异情况，整体比较一致（注：本文仅从数据规律维度预测股价，仅供参考不构成任何投资建议，不然会亏死的！！！）。
# 预测与实际差异的可视化
plt.plot(real_stock_price, color = 'red', label = 'Real TATA Stock Price')
plt.plot(predicted_stock_price, color = 'blue', label = 'Predicted TAT Stock Price')
plt.title('TATA Stock Price Prediction')
plt.xlabel('samples')
plt.ylabel('TATA Stock Price')
plt.legend()
plt.show()
文章首发于算法进阶，公众号阅读原文可访问GitHub项目源码
