祖冲之计算圆周率，使用的方法依然是刘徽的割圆术。唯一不同的地方是，他可能掌握了独特的开平方办法。那么用割圆术这种方法，每割一次，圆周率大约可以前进几位呢？得到7位小数，需要迭代几次呢？
用数据说话，不再用复杂的微积分计算。
先引用隋书上对祖冲之的记载：
故体有长短，检之以度，则不失毫厘；
物有多少，受之以器，则不失圭撮；
量有轻重，平之以权衡，则不失黍丝；
声有清浊，协之以律吕，则不失宫商；
三光运行，纪以历数，则不差晷刻；
事物糅见，御之以率，则不乖其本。
故幽隐之情，精微之变，可得而综也。
夫所谓率者，有九流焉：
一曰方田，以御田畴界域。
二曰栗米，以御交质变易。
三曰衰分，以御贵贱廪税。
四曰少广，以御积冪方圆。
五曰商功，以御功程积实。
六曰均输，以御远近劳费。
七曰盈肭，以御隐杂互见。
八曰方程，以御错糅正负。
九曰句股，以御高深广远。
皆乘以散之，除以聚之，
齐同以通之，今有以贯之。
则算数之方，尽于斯矣。
古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。
自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。
宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，
圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，
朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，
正数在盈朒二限之间。
密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。
约率，圆径七，周二十二。
又设开差冪，开差立，兼以正圆参之。
指要精密，算氏之最者也。
所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。
最前面是说数学很重要，日常生活中要用，研究历法、天文、音乐也要用。
然后说九数，就是现在能看到的《九章算术》编排的顺序。刘徽的割圆术就在《九章算术》的注释中出现。具体是第一章《方田》。方田讨论各种形状的土地面积，有长方形的、正方形的、三角形的、梯形的;还有圆形的、凸月形的、弓形、环形的。其中，刘徽对园田计算时的古圆周率不满意，所以开发了割圆术。
下面讲，祖冲之的伟大成就。“朒”读音是“女”第四声，意思是“亏缺，不足”。
割圆术，仍然用刘徽的方法，但数据要计算的更远。
下面是本人用电脑模仿的次序：
置圆径2尺，半径1尺。
割6觚为12觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 6 边形:
边长(小弦)=0.1e1
(正 12 边形面积:
0.3e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正6边形边长平方的四分之一)
0.25e0,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.86602540378443864676372317075293618347140262690519031402790348972596650845440001854057309337862429e0
以减半径，余(即30.000000度角的正矢)
0.13397459621556135323627682924706381652859737309480968597209651027403349154559998145942690662137571e0,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.26794919243112270647255365849412763305719474618961937194419302054806698309119996291885381324275142e0
开方除之，即12觚之一面也。
割12觚为24觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 12 边形:
边长(小弦)=0.51763809020504152469779767524809665669813780263986102762800641463011394949760399384473594938849933e0
(正 24 边形面积:
0.3105828541230249148186786051488579940188826815839166165768038487780683696985623963068415696330996e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正12边形边长平方的四分之一)
0.66987298107780676618138414623531908264298686547404842986048255137016745772799990729713453310687856e-1,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.96592582628906828674974319972889736763390483900840455040234307631042321397985551634756174185807045e0
以减半径，余(即15.000000度角的正矢)
0.34074173710931713250256800271102632366095160991595449597656923689576786020144483652438258141929548e-1,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.68148347421863426500513600542205264732190321983190899195313847379153572040288967304876516283859096e-1
开方除之，即24觚之一面也。
割24觚为48觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 24 边形:
边长(小弦)=0.26105238444010318309681245579097802038748140962346450378123389667026565045964725922848073798458425e0
(正 48 边形面积:
0.31326286132812381971617494694917362446497769154815740453748067600431878055157671107417688558150109e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正24边形边长平方的四分之一)
0.17037086855465856625128400135551316183047580495797724798828461844788393010072241826219129070964774e-1,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.9914448613738104111445575269285628712777382744481022714587746035289220684050825317632654334532774e0
以减半径，余(即7.500000度角的正矢)
0.85551386261895888554424730714371287222617255518977285412253964710779315949174682367345665467226026e-2,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.17110277252379177710884946142874257444523451103795457082450792942155863189834936473469133093445205e-1
开方除之，即48觚之一面也。
割48觚为96觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 48 边形:
边长(小弦)=0.13080625846028613363063111755035088288126460789010803566397530149269381489277793057241603452303998e0
(正 96 边形面积:
0.31393502030468672071351468212084211891503505893625928559354072358246515574266703337379848285529596e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正48边形边长平方的四分之一)
0.42775693130947944277212365357185643611308627759488642706126982355389657974587341183672832733613013e-2,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99785892323860350673806979127277760453186639632596641807472562927418785082869811103795654762696688e0
以减半径，余(即3.750000度角的正矢)
0.21410767613964932619302087272223954681336036740335819252743707258121491713018889620434523730331232e-2,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.42821535227929865238604174544447909362672073480671638505487414516242983426037779240869047460662465e-2
开方除之，即96觚之一面也。
割96觚为192觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 96 边形:
边长(小弦)=0.65438165643552284127319852634576252229925254503392393756191767514637470426534785459604967089728338e-1
(正 192 边形面积:
0.31410319508905096381113529264596601070364122161628349002972048407025985804736697020610384203069602e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正96边形边长平方的四分之一)
0.10705383806982466309651043636111977340668018370167909626371853629060745856509444810217261865165616e-2,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99946458747636564442983644624285994588364095315313089603368742859967445829148048907082006061563037e0
以减半径，余(即1.875000度角的正矢)
0.53541252363435557016355375714005411635904684686910396631257140032554170851951092917993938436963072e-3,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.10708250472687111403271075142801082327180936937382079326251428006510834170390218583598787687392614e-2
开方除之，即192觚之一面也。
割192觚为384觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 192 边形:
边长(小弦)=0.32723463252973563285943846968346100471329815672392449748141487237746659648045140570847433469849753e-1
(正 384 边形面积:
0.31414524722854620754506093089612256452476623045496751758215827748236793262123334948013536131055763e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正192边形边长平方的四分之一)
0.26770626181717778508177687857002705817952342343455198315628570016277085425975546458996969218481536e-3,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99986613790956178286274714906010002195345847142775142566570436111767871833202568180689070445356583e0
以减半径，余(即0.937500度角的正矢)
0.13386209043821713725285093989997804654152857224857433429563888232128166797431819310929554643417421e-3,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.26772418087643427450570187979995609308305714449714866859127776464256333594863638621859109286834841e-3
开方除之，即384觚之一面也。
割384觚为768觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 384 边形:
边长(小弦)=0.16362279207874258570398246589218018445335294164523419520579487869395791650646528660662556483480846e-1
(正 768 边形面积:
0.31415576079118576455164633451298595415043764795884965479512616709239919969241335028472108448283224e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正384边形边长平方的四分之一)
0.66931045219108568626425469949989023270764286124287167147819441160640833987159096554647773217087103e-4,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99996653391740110345760381057913911237003239152400201555378732091325150786598709346699669426161511e0
以减半径，余(即0.468750度角的正矢)
0.33466082598896542396189420860887629967608475997984446212679086748492134012906533003305738384889786e-4,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.66932165197793084792378841721775259935216951995968892425358173496984268025813066006611476769779572e-4
开方除之，即768觚之一面也。
割768觚为1536觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 768 边形:
边长(小弦)=0.81812080524695791892421083430238368503126169681799285472396523612238348914468720684051365949115252e-2
(正 1536 边形面积:
0.31415838921483184086689696037211533505200449157810925621400265067099525983155988742675724524460257e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正768边形边长平方的四分之一)
0.16733041299448271198094710430443814983804237998992223106339543374246067006453266501652869192444893e-4,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999163344435064914755862056883470820631843513005534979804061014698240595779802838321319621253575e0
以减半径，余(即0.234375度角的正矢)
0.83665556493508524413794311652917936815648699446502019593898530175940422019716167868037874642476409e-5,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.16733111298701704882758862330583587363129739889300403918779706035188084403943233573607574928495282e-4
开方除之，即1536觚之一面也。
割1536觚为3072觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 1536 边形:
边长(小弦)=0.40906125823281902288261178462642600567113050894216107422724189691675030982183195522447446656607267e-2
(正 3072 边形面积:
0.31415904632280500957384585059309517235542823086757970500652177683206423794316694161239639032274381e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正1536边形边长平方的四分之一)
0.41832778246754262206897155826458968407824349723251009796949265087970211009858083934018937321238205e-5,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999790835890018104166372432685047011985442966963796400028652886527153438757623832083049512163708e0
以减半径，余(即0.117188度角的正矢)
0.20916410998189583362756731495298801455703303620359997134711347284656124237616791695048783629204983e-5,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.41832821996379166725513462990597602911406607240719994269422694569312248475233583390097567258409965e-5
开方除之，即3072觚之一面也。
割3072觚为6144觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 3072 边形:
边长(小弦)=0.20453073606766090823859222920638784851090476920353415837138882452733313220077671428304806200726519e-2
(正 6144 边形面积:
0.31415921059992715505447766406101173531274972549662846725845323447398369106039303313876182324315934e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正3072边形边长平方的四分之一)
0.10458205499094791681378365747649400727851651810179998567355673642328062118808395847524391814602491e-5,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.9999994770895883276110982374640140777955560226432453518223085022951280911282807859211705092036403e0
以减半径，余(即0.058594度角的正矢)
0.52291041167238890176253598592220444397735675464817769149770487190887171921407882949079635970260424e-6,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.10458208233447778035250719718444088879547135092963553829954097438177434384281576589815927194052085e-5
开方除之，即6144觚之一面也。
割6144觚为12288觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 6144 边形:
边长(小弦)=0.10226538140273950024716386994690208027238668269427694057524568983324871646324003765035882637400341e-2
(正 12288 边形面积:
0.31415925166921574475928740847688319059677188923681876144715475916774005697507339566190231462093847e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正6144边形边长平方的四分之一)
0.26145520583619445088126799296110222198867837732408884574885243595443585960703941474539817985130212e-6,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999986927238853704857515517161734697783685384035148725450231910269474896857067502167799852247911e0
以减半径，余(即0.029297度角的正矢)
0.13072761146295142484482838265302216314615964851274549768089730525103142932497832200147752088630068e-6,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.26145522292590284968965676530604432629231929702549099536179461050206285864995664400295504177260137e-6
开方除之，即12288觚之一面也。
割12288觚为24576觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 12288 边形:
边长(小弦)=0.51132692372483462812329904167729802119501834726478547125933748209551655293273596409563162021982193e-3
(正 24576 边形面积:
0.31415926193653839551895493120653190422221927255948419354173694899948537012187297634035606746305859e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正12288边形边长平方的四分之一)
0.65363805731475712422414191326511081573079824256372748840448652625515714662489161000738760443150342e-7,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999996731809660020873887214910799212477104987677524490954984855364937882255649584190946748878291e0
以减半径，余(即0.014648度角的正矢)
0.32681903399791261127850892007875228950123224755090450151446350621177443504158090532511217087572849e-7,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.65363806799582522255701784015750457900246449510180900302892701242354887008316181065022434175145699e-7
开方除之，即24576觚之一面也。
割24576觚为49152觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 24576 边形:
边长(小弦)=0.25566346395130948052344901602532864686870304453467621730677964075264727555486053435606907311636776e-3
(正 49152 边形面积:
0.3141592645033690896672141508919238412722623011242101358265708225568529722018126246167376770453927e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正24576边形边长平方的四分之一)
0.16340951699895630563925446003937614475061612377545225075723175310588721752079045266255608543786425e-7,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999999182952411667384663803013397534384502751287301637915404800104878038911277318132985576781586e0
以减半径，余(即0.007324度角的正矢)
0.81704758833261533619698660246561549724871269836208459519989512196108872268186701442321841355632021e-8,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.16340951766652306723939732049312309944974253967241691903997902439221774453637340288464368271126404e-7
开方除之，即49152觚之一面也。
割49152觚为98304觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 49152 边形:
边长(小弦)=0.12783173223676626186947646649138260988152781056255781673371926384916560262546013047471577662181935e-3
(正 98304 边形面积:
0.31415926514507676517042536404922190204484274723854209040478846283570938501233081665466149262578323e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正49152边形边长平方的四分之一)
0.4085237941663076680984933012328077486243563491810422975999475609805443613409335072116092067781601e-8,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999999795738102708231552524588538297227930747251410367402745375397102654294937673218446052464002e0
以减半径，余(即0.003662度角的正矢)
0.20426189729176844747541146170277206925274858963259725462460289734570506232678155394753599836802994e-8,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.40852379458353689495082292340554413850549717926519450924920579469141012465356310789507199673605986e-8
开方除之，即98304觚之一面也。
割98304觚为196608觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 98304 边形:
边长(小弦)=0.63915866151022071160708072518218469284205664182268332932831428121132542711501922590836328462345113e-4
(正 196608 边形面积:
0.3141592653055036841691123180415474202257276805886853100314530355009906739355742499184787216581187e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正98304边形边长平方的四分之一)
0.10213094864588422373770573085138603462637429481629862731230144867285253116339077697376799918401497e-8,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999999948934525664019474785353706261343768748187857046032191171088036243597038638808978601670862e0
以减半径，余(即0.001831度角的正矢)
0.51065474335980525214646293738656231251812142953967808828911963756402961361191021398329138192278883e-9,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.10213094867196105042929258747731246250362428590793561765782392751280592272238204279665827638455774e-8
开方除之，即196608觚之一面也。
割196608觚为393216觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 196608 边形:
边长(小弦)=0.31957933079590903109381542557933332635033584466851947301532331929528365772989529067714664539495958e-4
(正 393216 边形面积:
0.31415926534561041392646431596150783313543414874294138275298343580003564689479626654726223828906107e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正196608边形边长平方的四分之一)
0.25532737167990262607323146869328115625906071476983904414455981878201480680595510699164569096139436e-9,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999999987233631415189967862122304051682339686835924045669061473492815895472174204664737649690611e0
以减半径，余(即0.000916度角的正矢)
0.12766368584810032137877695948317660313164075954330938526507184104527825795335262350309389141070612e-9,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.25532737169620064275755391896635320626328151908661877053014368209055651590670524700618778282141213e-9
开方除之，即393216觚之一面也。
割393216觚为786432觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 393216 边形:
边长(小弦)=0.15978966540305434995843624453501960064061042806926076746546980670958234914661662839321667779194741e-4
(正 786432 边形面积:
0.31415926535563709636628233165541133642749135041841220969851087757557566501018002075133544587319196e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正393216边形边长平方的四分之一)
0.63831842924050160689388479741588301565820379771654692632535920522639128976676311751546945705353032e-10,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999999996808407853746560663390442836378158635102740491164743804935197288056826287224449620200908e0
以减半径，余(即0.000458度角的正矢)
0.31915921462534393366095571636218413648972595088352561950648027119431737127755503797990921101423041e-10,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.63831842925068786732191143272436827297945190176705123901296054238863474255511007595981842202846146e-10
开方除之，即786432觚之一面也。
割786432觚为1572864觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 786432 边形:
边长(小弦)=0.79894832702164654280666818387923563101968116947724634819186453647210868247659025040690287800206662e-5
(正 1572864 边形面积:
0.31415926535814376697626683659225751788703495073716490005061220557341668768871491190400072207646063e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正786432边形边长平方的四分之一)
0.15957960731267196683047785818109206824486297544176280975324013559715868563877751898995460550711536e-10,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.9999999999920210196343345695946382698681940199535005525128905848528271063740538877310101526376301e0
以减半径，余(即0.000229度角的正矢)
0.79789803656654304053617301318059800464994474871094151471728936259461122689898473623699010956543222e-11,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.15957960731330860810723460263611960092998894974218830294345787251892224537979694724739802191308596e-10
开方除之，即1572864觚之一面也。
割1572864觚为3145728觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 1572864 边形:
边长(小弦)=0.39947416351162012053014734635646148500445567668249265308026309796103156878652101854617844957782771e-5
(正 3145728 边形面积:
0.3141592653587704346287648378898047185750240867247660621472174686556899787039212976573082104583902e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正1572864边形边长平方的四分之一)
0.3989490182832715202680865065902990023249723743554707573586446812973056134494923681184950547827149e-11,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999999999800525490858165289466969867207322580271743629306828098259144282972541067091939780067991e0
以减半径，余(即0.000114度角的正矢)
0.19947450914183471053303013279267741972825637069317190174085571702745893290806021993200852460798506e-11,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.39894901828366942106606026558535483945651274138634380348171143405491786581612043986401704921595997e-11
开方除之，即3145728觚之一面也。
割3145728觚为6291456觚术曰:
令半径为弦，半面为句，为之求股。
[[正 3145728 边形:
边长(小弦)=0.19973708175590966640592540448865890336357157254737719591113076784221594351417262443577222540606104e-5
(正 6291456 边形面积:
0.31415926535892710154188945540564999738004063788315788586956478403137913777947561076054644554107879e1)]]
置上小弦幂，四而一之,得(正3145728边形边长平方的四分之一)
0.99737254570917355266515066396338709864128185346585950870427858513729466454030109966004262303989992e-12,余分弃之，即句幂也。
以减弦幂，其余开方除之，得股(边到圆心的距离)
0.99999999999950131372714528887966805780632370590547466559830610837597257418052776971346854766433622e0
以减半径，余(即0.000057度角的正矢)
0.49868627285471112033194219367629409452533440169389162402742581947223028653145233566377778688975338e-12,谓之小勾。
觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂：
0.99737254570942224066388438735258818905066880338778324805485163894446057306290467132755557377946966e-12
开方除之，即6291456觚之一面也。
要得到祖冲之的结果，需要计算到至少12288边形的边长。得到24576边形的面积为:3.141592619;
按照刘徽的办法，与上一级12288边形面积3.141592516比较，
末尾四位 2619-2561 = 103;
2561+103= 2664
这样得到的范围是 3.141592616到3.141592664
最后两位分别舍去和进入，范围就是
3.1415926到3.1415927之间。
