第一章函数极限连续

第一节函数

一、函数的概念及常见函数

符号函数、取整函数（取整函数的基本不等式 $x - 1 < [x] \leq x$ ）

复合函数：内层函数的值域与外层函数的定义域一定要有交集

反函数：只有满足一一映射的函数才有反函数
单调函数一定有反函数，反之则不然

基本初等函数：常对幂指三角反三角（对常见的要熟悉）

二、函数的性质

单调性
奇偶性：常见的奇函数：
常见的偶函数：
性质：周期性、有界性

第二节极限

一、极限的概念

数列极限： $\varepsilon$ 、N的含义、几何意义

数列极限 { $a{_n}$ } 的极限是否存在，如果存在极限值等于多少与数列的前有限项无关
$\lim_{n \to \infty}x{_n} = a \Leftrightarrow lim_{k \to \infty}x{_{2k-1}} = \lim_{k \to \infty}x{_{2k}} = a$

函数的极限： $\varepsilon$ 、X的含义， $\varepsilon$ 、 $\delta$ 的含义，几何意义

$\lim_{x \to \infty} f(x)$ 存在的充要条件
对 $x \to x{_0}$ ，但 $x \neq x{_0}$ 的理解
$\lim_{x \to x{_0}} f(x)$ 存在的条件及其充要条件

需要分左、右极限求极限的问题：分段函数、 $e^\infty$ 、 $arctan\infty$

二、极限的性质：

有界性

保号性：极限值保数列项和数列项保极限值的不同

极限和无穷小的关系

三、极限的存在准则：

夹逼定理（多用于求n项和的极限）

单调有界准则（多用于求递推关系定义的极限）

四、无穷小量

无穷小量

无穷小的概念
无穷小之间的比较
无穷小量的三条性质

无穷大量

无穷大的概念
常见无穷大的排序
无穷大量的性质
无穷大和无界变量的关系
无穷大和无穷小的关系

第三节连续

一、连续性的概念

f(x) 在 (a, b) 内连续和 f(x) 在 [a, b] 上连续的区别

二、间断点及其分类

间断点 $\neq$ 不连续的点

间断点的分类

第一类间断点（左右极限都存在）
- 可去间断点（左右极限相等）
- 跳跃间断点（左右极限不等）
第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）
- 无穷间断点
- 振荡间断点

三、连续性的运算与性质

和差积商、复合

基本初等函数在其定义域内都是连续的

初等函数在其定义区间内都是连续的

四、闭区间上连续函数的性质

最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理

常考题型

函数

复合
性质

极限

概念、性质、准则
求极限
无穷小的比较

连续

间断点的类型
性质

第一章 函数 极限 连续

第一节 函数