三维几何变换

三维几何变换是在二维几何变换的基础上扩充了z坐标得到的

一、基础的几何变换

1、平移

任意点P=(x, y, z) 通过平移 $t_{x}$ 、 $t_{y}$ 和 $t_{z}$ 加到P的坐标上而平移到位置P' = (x', y' ,z')

x' = x + $t_{x}$ y' = y + $t_{y}$ z' = z + $t_{z}$

用矩阵表示： $\begin{bmatrix}1 && 0 && 0 &&t_{x} \\0 &&1 && 0 &&t_{y}\\0 && 0 && 1 &&t_{z}\\0 && 0 && 0 &&1 \end{bmatrix}$ $\cdot$ $\ \begin{bmatrix}x \\y\\z\\1 \end{bmatrix}$

2、旋转

绕z轴旋转： $\begin{bmatrix}\cos \theta && -\sin \theta && 0 &&0 \\\sin \theta &&\cos \theta && 0 &&0\\0 && 0 && 1 &&0\\0 && 0 && 0 &&1 \end{bmatrix}$ $\cdot$ $\ \begin{bmatrix}x \\y\\z\\1 \end{bmatrix}$

绕x轴旋转： $\begin{bmatrix}1 && 0 && 0 &&0 \\0 &&\cos \theta && -\sin \theta &&0\\0 && \sin \theta && \cos \theta &&0\\0 && 0 && 0 &&1 \end{bmatrix}$ $\cdot$ $\ \begin{bmatrix}x \\y\\z\\1 \end{bmatrix}$

绕y轴旋转： $\begin{bmatrix}\cos \theta && 0 && \sin \theta &&0 \\0 &&1&&0 &&0\\-\sin \theta && 0 && \cos \theta &&0\\0 && 0 && 0 &&1 \end{bmatrix}$ $\cdot$ $\ \begin{bmatrix}x \\y\\z\\1 \end{bmatrix}$

对于对象绕与坐标轴不一致的轴进行旋转的变换矩阵，可以利用平移加坐标轴旋转复合而成

1、平移对象使其旋转轴与平行于该轴的一个坐标轴重合

2、绕该坐标轴完成指定的旋转

3、平移对象将其旋转轴移回到原来的位置

对于对象绕与每个坐标轴均不平行的轴进行旋转，需要额外的变换

1、平移对象，使得旋转轴通过坐标原点

2、旋转对象使得旋转轴与某一坐标轴重合

3、绕该坐标轴完成指定的旋转

4、利用逆旋转使旋转轴回到其原始位置

5、利用逆平移使旋转轴回到其原始位置

缩放：

相对原点的缩放 $\begin{bmatrix}s_{x} && 0 && 0 &&0 \\0 &&s_{y} && 0 &&0\\0 && 0 && s_{z} &&0\\0 && 0 && 0 &&1 \end{bmatrix} \cdot \ \begin{bmatrix}x \\y\\z\\1 \end{bmatrix}$

对于指定点（ $x_{f}$ , $y_{f}$ , $z_{f}$ ）的缩放变换

1、平移给定点到原点

2、使用缩放公式，相对原点缩放对象

3、平移给定点回到原始位置

$\begin{bmatrix}s_{x} && 0 && 0 &&(1-s_{x})x_{f} \\0 &&s_{y} && 0 &&(1-s_{y})y_{f}\\0 && 0 && s_{z} &&(1-s_{z})z_{f}\\0 && 0 && 0 &&1 \end{bmatrix}$

二、其他的三维变换

三维反射

相对于给定的反射轴，或者对于给定的反射平面

相对于xy平面的点反射矩阵 $\begin{bmatrix}1 && 0 && 0 &&0 \\0 &&1 && 0 &&0\\0 && 0 && -1 &&0\\0 && 0 && 0 &&1 \end{bmatrix}$

三维错切

相对于z轴的错切 $\begin{bmatrix}1 && 0 && sh_{zx} &&-sh_{zx}\cdot z_{ref} \\0 &&1 &&sh_{zy} &&-sh_{zy}\cdot z_{ref} \\0 && 0 && -1 &&0\\0 && 0 && 0 &&1 \end{bmatrix}$