328-149的结果为179,我们自己在计算时用到了“借位“的技巧,”但芯片本质上只是一些逻辑门,如果用逻辑门去实现借位减法那就过于复杂且运算效也不高。所以使用一些技巧来实现不借位的减法。
一、补码:
实现不借位减法的关键就在于用补码来表示数。
有下面的步骤来计算328-149:
999 - 149 = 850
850 + 1 + 328 = 1179
1179 - 1000 = 179
整个计算过程都涉及到借位。我们上面过程合并一下:
999 - 149 + 1 + 328 - 1000 = 179
328 - 139 + 1000 - 1000 = 179
我们把328-149看为328 +(-149)。上面过程中999 - 149 + 1得到的850就是-149的补码。
负数的补码就是改数加上10的n次方,n等于该数的位数。正数的补码就是他本身。
二进制的补码:
以此类推,二进制负数的补码也就是该数加上2的n次方,n为该数的位数。
二进制减法中,如果减数与被减数都是正数同时被减数所以位都是1,那么直接对减数取反就得到结果。
2的n次方等于2^n - 1 + 1,2^n - 1 的二进制表示为n个1,如 2^4 - 1=7,7的二进制为111。所以计算负数a补码不妨用2^n - 1 + a + 1,这样求二进制负数的补码就是对该数二进制取反然后加1。
计算机表示一个数位数是固定的,如int型用4个字节32位表示,如果用2^n + a 来求就需要33位,这显示是不可能的,同时计算机中位操作远远快与加法操作。
那么补码的意义是什么?
负数才有补码。补码意义在于用一部分整数来表示负数。
例如要表示-5到4这个10个数,这10个数都是一位的。其中最大值只是4,后面的5,6,7,8,9这个5个数是用不到的,何不用这个5个数来表示负数的部分。
5表示-5,(5到9中5最小,-5至-1中也是-5最小)
6表示-4
7表示-3
8表示-2
9表示-1
这样不用负号,就可以表示一定范围内的负数。
可以看出补码是基于一定的范围和固定的位数内定义的,如果超出了就没有意义了,所以计算时结果的最大最小值以及位数都不能超过定义的范围。如4 + 1 = 5,正常来看没有什么问题,但在上面的定义中我们定义的最大正数位4,对于5这个正数我们将其定义表示-5,所以4 + 1在这个计算中在这个定义中是没有意义的。
计算机中有符号的数是用补码表示的,这也就是为什么当值超过最大最小值时会得不到预期的结果。
用补码计算:
1 - 2 = 1 + 8(补) = 9(补) = -1
-3 + 1 = 7 (补) + 1 = 8(补) = -2
(-2) + (-1) = 8 + 9 = 17 (超出一位,无对应值)
采用补码表示二进制数是,一般使用高位为0的表示正数,高位1的用来表示负数,也就是个一半。或者说使用较小的一半数表示正数,较大的一半数表示负数,这样负数刚好高位为1。
二、计算机减法的实现:
计算机在执行减法时,先求出减数的补码,然后和被减数相加,将减法转换为加法来计算。
前面已经实现了加法(https://www.jianshu.com/p/70128f5ad977),现在只需要在做减法时将减数求补然后执行加法就可以。
取反器
计算时要求补码,需要对减数求反。对输入只有执行减法时需要取反,使用异或门当输入取反信号时,进行取反,未输入取反信号时就原样输出。完成了取反,后面再加1就可以得到补码了。
我们对加法器稍微做下改动:
进行减法时sub信号为1,此时会对B取反,同时CI接了SUB所以CI为1,这样就加上了1得了补码。
接着进行普通的加法运算。由于计算了补码这个过程相当于加了一个ob100000000,所以进行减法时若减数小于被减数那么CO就会输出1,此时要舍弃这个1相当于将去ob100000000。
如果进行的就是加法运行那么CO输出需要保留。同时减数大于被减数时CO输出0。在CO端添加一个异或运算,可以在进行加法产生进位和减数小于被减数时输出1,表示上溢和下溢。